Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\frac{\tan (x)}{x+\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\tan(x)}{x+\cos(x)}.
Informações que temos:
  • A função é uma razão entre duas funções: numerador \tan(x) e denominador x+\cos(x).
  • Preciso obter f'(x), a derivada em relação a x.
  • Devemos lembrar que a derivada só existe onde as funções envolvidas estão definidas (veremos isso ao final).

Passo 2

Escolha do método: como f é uma razão entre duas funções, o caminho mais direto é usar a regra do quociente. Vou apresentar a regra do quociente e explicar o que cada símbolo significa.
Regra do quociente: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador da fração;
  • v(x) é o denominador da fração;
  • u'(x) é a derivada de u;
  • v'(x) é a derivada de v.
Um exemplo rápido para fixar: se u(x)=x^2 e v(x)=x+1, então pela fórmula
\left(\frac{x^2}{x+1}\right)'=\frac{2x(x+1)-x^2\cdot1}{(x+1)^2}.

Passo 3

Identificar u e v para o nosso caso e calcular suas derivadas.
Defino
u(x)=\tan(x),\qquad v(x)=x+\cos(x).
Agora as derivadas:
  • Derivada de u: é conhecida que
\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x).
Pequena justificativa: \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Aplicando a regra do quociente a \sin/\cos obtém-se \operatorname{sec}^2(x). Então
u'(x)=\operatorname{sec}^2(x).
  • Derivada de v: derivando termo a termo,
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=-\sin(x).
Portanto
v'(x)=1-\sin(x).

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v' na fórmula.
Pela regra do quociente,
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2(x)\,(x+\cos(x))-\tan(x)\,(1-\sin(x))}{(x+\cos(x))^{2}}.

Passo 5

Explicação e pequenas manipulações (para entender e, se quiser, simplificar):
  • O termo \operatorname{sec}^2(x)\,(x+\cos(x)) vem de derivar o numerador e multiplicar pelo denominador.
  • O termo \tan(x)\,(1-\sin(x)) vem de multiplicar o numerador pela derivada do denominador.
  • O denominador final é (x+\cos(x))^{2}, que garante que a operação respeita a regra do quociente.
Podemos deixar a resposta exatamente como escrito em \#Passo 4, que já é uma forma clara e correta. Se quisermos escrever tudo com seno e cosseno (opcional):
\operatorname{sec}^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)},\qquad \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)},
então outra forma equivalente é
f'(x)=\frac{\dfrac{x+\cos(x)}{\cos^2(x)}-\dfrac{\sin(x)\,(1-\sin(x))}{\cos(x)}}{(x+\cos(x))^{2}}.
Mas a forma com \operatorname{sec}^2 e \tan é mais compacta e usual.
Observação sobre domínio: a derivada está definida apenas quando \cos(x)\neq0 (para que \operatorname{sec}^2(x) e \tan(x) façam sentido) e quando x+\cos(x)\neq0 (para não dividir por zero). Em pontos onde alguma dessas condições falha, a expressão acima não é válida.

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2(x)\,(x+\cos(x))-\tan(x)\,(1-\sin(x))}{(x+\cos(x))^{2}}

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