Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações que temos:
- A função é uma razão entre duas funções: numerador
e denominador . - Preciso obter
, a derivada em relação a . - Devemos lembrar que a derivada só existe onde as funções envolvidas estão definidas (veremos isso ao final).
Passo 2
Escolha do método: como
é uma razão entre duas funções, o caminho mais direto é usar a regra do quociente. Vou apresentar a regra do quociente e explicar o que cada símbolo significa.
Regra do quociente: se
e
são funções diferenciáveis e
, então
Aqui:
-
é o numerador da fração; -
é o denominador da fração; -
é a derivada de ; -
é a derivada de .
Um exemplo rápido para fixar: se
e
, então pela fórmula
Passo 3
Identificar
e
para o nosso caso e calcular suas derivadas.
Defino
Agora as derivadas:
- Derivada de
: é conhecida que
Pequena justificativa:
. Aplicando a regra do quociente a
obtém-se
. Então
- Derivada de
: derivando termo a termo,
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
na fórmula.
Pela regra do quociente,
Substituindo:
Passo 5
Explicação e pequenas manipulações (para entender e, se quiser, simplificar):
- O termo
vem de derivar o numerador e multiplicar pelo denominador. - O termo
vem de multiplicar o numerador pela derivada do denominador. - O denominador final é
, que garante que a operação respeita a regra do quociente.
Podemos deixar a resposta exatamente como escrito em
Passo 4, que já é uma forma clara e correta. Se quisermos escrever tudo com seno e cosseno (opcional):
então outra forma equivalente é
Mas a forma com
e
é mais compacta e usual.
Observação sobre domínio: a derivada está definida apenas quando
(para que
e
façam sentido) e quando
(para não dividir por zero). Em pontos onde alguma dessas condições falha, a expressão acima não é válida.