Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: calcule a derivada de
dada por
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- A função está escrita como uma potência com base dependente de
e expoente também dependente de : a base é e o expoente é . - O objetivo é encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Primeira ideia simples: simplificar a expressão usando propriedades de potências. Lembre que, para números reais positivos e expoentes reais, vale
Aqui a base
é sempre positiva, então podemos aplicar a regra. Assim
Isso já transformou a função numa forma bem conhecida: uma exponencial com argumento
.
Passo 3
Agora vamos derivar
. Para isso usamos a regra da cadeia para exponenciais. A regra geral é:
ou seja, derivamos o expoente
e multiplicamos pelo próprio
.
Passo 4
Identifique
. Calcule a derivada de
:
Aplicando a fórmula da regra da cadeia:
Pronto: essa é a derivada.
Passo 5
Método alternativo (útil para funções da forma
): diferenciação logarítmica. Para reforçar a ideia, faça:
Como
, tem-se
. Derivando ambos os lados:
o mesmo resultado obtido antes. Esse método é especialmente útil quando a base não é simplesmente uma exponencial de
.
Passo 6
Resumo prático para a prova: sempre tente primeiro simplificar expressões do tipo
usando a regra dos expoentes; se não der para simplificar, use diferenciação logarítmica. Não se esqueça da regra da cadeia ao derivar exponenciais.