Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\left(e^{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede: calcule a derivada de f dada por
f(x)=\left(e^{x}\right)^{x}.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A função está escrita como uma potência com base dependente de x e expoente também dependente de x: a base é e^{x} e o expoente é x.
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Primeira ideia simples: simplificar a expressão usando propriedades de potências. Lembre que, para números reais positivos e expoentes reais, vale
\left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}.
Aqui a base e^{x} é sempre positiva, então podemos aplicar a regra. Assim
f(x)=\left(e^{x}\right)^{x}=e^{x\cdot x}=e^{x^{2}}.
Isso já transformou a função numa forma bem conhecida: uma exponencial com argumento x^{2}.

Passo 3

Agora vamos derivar \,f(x)=e^{x^{2}}\,. Para isso usamos a regra da cadeia para exponenciais. A regra geral é:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=u'(x)\,e^{u(x)},
ou seja, derivamos o expoente u(x) e multiplicamos pelo próprio e^{u(x)}.

Passo 4

Identifique u(x)=x^{2}. Calcule a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Aplicando a fórmula da regra da cadeia:
f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}=2x\,e^{x^{2}}.
Pronto: essa é a derivada.

Passo 5

Método alternativo (útil para funções da forma g(x)^{h(x)}): diferenciação logarítmica. Para reforçar a ideia, faça:
y=\left(e^{x}\right)^{x},\qquad \ln y = x\ln\!\bigl(e^{x}\bigr).
Como \ln(e^{x})=x, tem-se \ln y = x\cdot x = x^{2}. Derivando ambos os lados:
\frac{y'}{y}=2x \quad\Rightarrow\quad y'=2x\,y=2x\,e^{x^{2}},
o mesmo resultado obtido antes. Esse método é especialmente útil quando a base não é simplesmente uma exponencial de x.

Passo 6

Resumo prático para a prova: sempre tente primeiro simplificar expressões do tipo (a^{u(x)})^{v(x)} usando a regra dos expoentes; se não der para simplificar, use diferenciação logarítmica. Não se esqueça da regra da cadeia ao derivar exponenciais.

Resposta

f'(x)=2x\,e^{x^{2}}

Exercícios relacionados