Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=e^{x} \operatorname{sen}(x)-\frac{4}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{x}\sin(x)-\frac{4}{x}
e pede para calcular a derivada f'(x). Vou trabalhar com essa expressão exatamente como está (repare que usei \sin no lugar de “sen”).

Passo 2

Relembre as regras que vamos usar (com explicações simples e exemplos curtos):
\text{Regra do produto: }(u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são funções de x. Exemplo rápido: se u(x)=x^2 e v(x)=\sin x, então (x^2\sin x)'=2x\sin x + x^2\cos x.
\text{Derivada do exponencial: }(e^{x})' = e^{x}.
Ou seja, a derivada de e^{x} é ela mesma.
\text{Derivada do seno: }(\sin x)'=\cos x.
\text{Regra da potência: }(x^{n})' = n x^{n-1},\quad n\in\mathbb{R}.ê
Isso vale também para potências negativas. Exemplo: (x^{-1})' = -x^{-2}.
\text{Constante multiplicando: }(a\cdot g(x))' = a\cdot g'(x),\quad a\text{ constante.}
Usaremos essas regras combinadas.

Passo 3

Derivada do primeiro termo e^{x}\sin x pelo produto. Defina
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=\sin x.
Então
u'(x)=e^{x},\qquad v'(x)=\cos x.
Aplicando a regra do produto:
\big(e^{x}\sin x\big)' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x.
Fatorando e^{x}:
\big(e^{x}\sin x\big)' = e^{x}\big(\sin x + \cos x\big).

Passo 4

Derivada do segundo termo -\dfrac{4}{x}. Reescreva como potência:
-\frac{4}{x} = -4x^{-1}.
Usando a regra da potência e a constante:
\big(-4x^{-1}\big)' = -4\cdot(-1)x^{-2} = 4x^{-2}.
Escrevendo como fração:
4x^{-2}=\frac{4}{x^{2}}.

Passo 5

Somando as derivadas (a derivada da soma é a soma das derivadas):
f'(x)=e^{x}\big(\sin x + \cos x\big) + \frac{4}{x^{2}}.
Observação sobre domínio: a função original não está definida em x=0, então a expressão para f'(x) vale para x\neq 0.

Resposta

f'(x)=e^{x}\big(\sin x + \cos x\big) + \frac{4}{x^{2}}

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