Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)(\sqrt{x}+4)}{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)\bigl(\sqrt{x}+4\bigr)}{\cos(x)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função contém \sqrt{x}, logo exige x\ge 0 para estar definida (no contexto real).
  • A função tem divisão por \cos(x), portanto precisa de \cos(x)\neq 0 nos pontos considerados.
  • O objetivo é obter f'(x) (a derivada), e também devemos verificar o caso x=0 separadamente porque \sqrt{x} tem derivada singular em 0.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão para facilitar a derivação. Uso \sin e \cos no lugar de \operatorname{sen} e a identidade \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Assim:
f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}\bigl(\sqrt{x}+4\bigr)=\tan x\bigl(\sqrt{x}+4\bigr).
Condição de validade desta forma: x\ge 0 e \cos x\neq 0. Vou derivar a forma \tan x\cdot(\sqrt{x}+4) porque aí uso a regra do produto, que dá um cálculo mais direto.

Passo 3

Lembrete da regra do produto (aula rápida):
Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada de u(x)v(x) é
(u v)' = u'v + uv'.
Aqui vou tomar
u(x)=\tan x,\qquad v(x)=\sqrt{x}+4.
Na fórmula acima, u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v.

Passo 4

Derivada de u(x)=\tan x.
Posso justificar rapidamente por \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicar a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(- \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.
Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x,
onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.

Passo 5

Derivada de v(x)=\sqrt{x}+4.
Escrevo \sqrt{x}=x^{1/2}. Pela regra de potência (derivada de x^n é n x^{n-1}):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
E a derivada da constante 4 é 0. Logo
v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação importante: essa expressão para v'(x) só vale para x>0 (em x=0 a derivada da raiz não é finita).

Passo 6

Aplicando agora a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' encontrados:
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x\bigl(\sqrt{x}+4\bigr)+\tan x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Essa expressão é válida para x>0 com \cos x\neq 0 (porque usei v'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}). A primeira parcela \operatorname{sec}^2 x(\sqrt{x}+4) exige apenas \cos x\neq0.

Passo 7

Verifico o caso x=0 separadamente (pois a fórmula acima usa 1/(2\sqrt{x}) que não está definida em 0, mas a derivada total pode existir).
Usando a definição do limite da derivada:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Calculando f(0): \sin 0=0 e \sqrt{0}=0, \cos 0=1, então f(0)=0. Assim
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\tan h\bigl(\sqrt{h}+4\bigr)}{h}=\frac{\tan h}{h}\bigl(\sqrt{h}+4\bigr).
Sabemos que \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\tan h}{h}=1 e \displaystyle\lim_{h\to0}\sqrt{h}=0. Portanto
f'(0)=1\cdot(0+4)=4.
Conclusão: a derivada existe em x=0 e vale 4, embora a fórmula geral tenha um termo com \tfrac{1}{\sqrt{x}} que não se aplica diretamente em 0.

Passo 8

Resumo das condições:
  • A função está definida para x\ge 0 com \cos x\neq 0.
  • A expressão geral para a derivada que obtivemos
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x\bigl(\sqrt{x}+4\bigr)+\frac{\tan x}{2\sqrt{x}}
é válida para x>0 e \cos x\neq 0.
  • Em x=0 tem-se f'(0)=4.
  • Em pontos com \cos x=0 a função não está definida (logo a derivada não existe aí).

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^2 x\bigl(\sqrt{x}+4\bigr)+\frac{\tan x}{2\sqrt{x}},\qquad x>0,\\ \cos x\neq 0
f'(0)=4

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