Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função contém
, logo exige para estar definida (no contexto real). - A função tem divisão por
, portanto precisa de nos pontos considerados. - O objetivo é obter
(a derivada), e também devemos verificar o caso separadamente porque tem derivada singular em .
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão para facilitar a derivação. Uso
e
no lugar de
e a identidade
. Assim:
Condição de validade desta forma:
e
. Vou derivar a forma
porque aí uso a regra do produto, que dá um cálculo mais direto.
Passo 3
Lembrete da regra do produto (aula rápida):
Se e
são funções diferenciáveis, então a derivada de
é
Se
Aqui vou tomar
Na fórmula acima,
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
.
Passo 4
Derivada de
.
Posso justificar rapidamente por e aplicar a regra do quociente:
Posso justificar rapidamente por
Portanto
onde
e
.
Passo 5
Derivada de
.
Escrevo . Pela regra de potência (derivada de
é
):
Escrevo
E a derivada da constante
é
. Logo
Observação importante: essa expressão para
só vale para
(em
a derivada da raiz não é finita).
Passo 6
Aplicando agora a regra do produto:
Substituindo
encontrados:
Essa expressão é válida para
com
(porque usei
). A primeira parcela
exige apenas
.
Passo 7
Verifico o caso
separadamente (pois a fórmula acima usa
que não está definida em
, mas a derivada total pode existir).
Usando a definição do limite da derivada:
Usando a definição do limite da derivada:
Calculando
:
e
,
, então
. Assim
Sabemos que
e
. Portanto
Conclusão: a derivada existe em
e vale
, embora a fórmula geral tenha um termo com
que não se aplica diretamente em
.
Passo 8
Resumo das condições:
- A função está definida para
com . - A expressão geral para a derivada que obtivemos
é válida para
e
.
- Em
tem-se . - Em pontos com
a função não está definida (logo a derivada não existe aí).