Calcule a derivada da função h(x)=\int_{1}^{x^{4}+1} \ln t \mathrm{~d} t.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=\int_{1}^{x^{4}+1} \ln t \, \mathrm{d}t
e pede para calcular a derivada de h em relação a x, isto é, h'(x).
Informações relevantes dadas:
  • A integral tem limite inferior constante igual a 1.
  • O limite superior é uma função de x, especificamente x^{4}+1.
  • A função integranda é \ln t.

Passo 2

Ferramentas teóricas necessárias (explicadas de forma simples):
  1. Teorema Fundamental do Cálculo (caso com limite superior dependente de x):
    Seja F(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,\mathrm{d}t, com f contínua e g diferenciável. Então
F'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Intuição: um pequeno aumento \Delta x muda o limite superior em aproximadamente g'(x)\Delta x, e a área adicional é aproximadamente f(g(x)) vezes essa variação.
  1. Regra da cadeia (cadeia de derivadas):
    Se y=u(v(x)), então
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u'(v(x))\cdot v'(x).
No contexto acima a regra da cadeia explica por que multiplicamos por g'(x).

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema ao problema:
  • Identificamos f(t)=\ln t.
  • O limite superior é g(x)=x^{4}+1.
  • Calculamos g'(x). Como g(x)=x^{4}+1, pela regra de potência
g'(x)=4x^{3}.
Pelo teorema,
h'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)=\ln\bigl(x^{4}+1\bigr)\cdot 4x^{3}.

Passo 4

Verificação alternativa (opcional, boa para entender e checar):
Calcule a integral indefinida de \ln t usando integração por partes. Tomando u=\ln t e \mathrm{d}v=\mathrm{d}t, obtemos
\int \ln t\,\mathrm{d}t = t\ln t - t + C.
Logo
h(x)=\bigl[(t\ln t - t)\bigr]_{t=1}^{t=x^{4}+1}=(x^{4}+1)\ln(x^{4}+1)-(x^{4}+1)-(1\cdot\ln 1 - 1).
Como \ln 1=0, isso simplifica para
h(x)=(x^{4}+1)\ln(x^{4}+1)-(x^{4}+1)+1.
Agora derivando termo a termo:
  • Derivada de (x^{4}+1)\ln(x^{4}+1): usar regra do produto e cadeia.
    Primeiro fator (x^{4}+1) derivado é 4x^{3}.
    Segundo fator \ln(x^{4}+1) derivado é \dfrac{1}{x^{4}+1}\cdot 4x^{3}.
    Então a derivada do produto é 4x^{3}\ln(x^{4}+1)+(x^{4}+1)\cdot\frac{4x^{3}}{x^{4}+1}=4x^{3}\ln(x^{4}+1)+4x^{3}.
  • Derivada de -(x^{4}+1) é -4x^{3}.
  • Derivada de +1 é 0.
Somando:
4x^{3}\ln(x^{4}+1)+4x^{3}-4x^{3}=4x^{3}\ln(x^{4}+1),
o que confirma o resultado do passo anterior.

Passo 5

Resumo final: aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia (e verificando por integração por partes), obtemos a derivada pedida. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia na técnica!

Resposta

\,4x^{3}\ln\bigl(x^{4}+1\bigr)

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