Calcule a derivada da função
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
, isto é,
.
Informações relevantes dadas:
- A integral tem limite inferior constante igual a
. - O limite superior é uma função de
, especificamente . - A função integranda é
.
Passo 2
Ferramentas teóricas necessárias (explicadas de forma simples):
- Teorema Fundamental do Cálculo (caso com limite superior dependente de
):
Seja, com contínua e diferenciável. Então
Intuição: um pequeno aumento
muda o limite superior em aproximadamente
, e a área adicional é aproximadamente
vezes essa variação.
- Regra da cadeia (cadeia de derivadas):
Se, então
No contexto acima a regra da cadeia explica por que multiplicamos por
.
Passo 3
Aplicando diretamente o teorema ao problema:
- Identificamos
. - O limite superior é
. - Calculamos
. Como , pela regra de potência
Pelo teorema,
Passo 4
Verificação alternativa (opcional, boa para entender e checar):
Calcule a integral indefinida de usando integração por partes. Tomando
e
, obtemos
Calcule a integral indefinida de
Logo
Como
, isso simplifica para
Agora derivando termo a termo:
- Derivada de
: usar regra do produto e cadeia.
Primeiro fatorderivado é .
Segundo fatorderivado é .
Então a derivada do produto é - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando:
o que confirma o resultado do passo anterior.
Passo 5
Resumo final: aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia (e verificando por integração por partes), obtemos a derivada pedida. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia na técnica!