Calcule a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
f(\theta, \varphi)=\operatorname{sen}(3 \theta) \cos (2 \varphi) ; \quad \frac{\partial f}{\partial \theta}(\theta, \varphi)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de f(\theta,\varphi)=\operatorname{sen}(3\theta)\cos(2\varphi) em relação a \theta.
Informações dadas: a função depende de duas variáveis \theta e \varphi; devemos manter todas as variáveis constantes exceto \theta, ou seja, \varphi é tratada como constante durante a diferenciação. A notação que queremos é \dfrac{\partial f}{\partial \theta}(\theta,\varphi).

Passo 2

Entendimento do que é derivada parcial (rápido e intuitivo): a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial \theta}(\theta,\varphi) mede como f varia quando só alteramos \theta, mantendo \varphi fixo. Formalmente seria o limite
\frac{\partial f}{\partial \theta}(\theta,\varphi)=\lim_{h\to 0}\frac{f(\theta+h,\varphi)-f(\theta,\varphi)}{h},
mas aqui usaremos as regras usuais de diferenciação (regra do fator constante e regra da cadeia) aplicadas como se fosse uma derivada ordinária em \theta com \varphi constante.

Passo 3

Aplicação da regra do fator constante: como \cos(2\varphi) depende somente de \varphi e \varphi é mantida constante, podemos tratar \cos(2\varphi) como um multiplicador constante. Logo escrevemos
f(\theta,\varphi)=\cos(2\varphi)\,\operatorname{sen}(3\theta).
Ao derivar em relação a \theta o fator \cos(2\varphi) sai multiplicando a derivada de \operatorname{sen}(3\theta).

Passo 4

Regra da cadeia (explicada): quando temos uma função composta \operatorname{sen}(u(\theta)), a derivada em relação a \theta é
\frac{d}{d\theta}\operatorname{sen}(u(\theta))=\cos(u(\theta))\cdot u'(\theta).
Aqui u(\theta)=3\theta. Então primeiro identificamos u(\theta)=3\theta e calculamos sua derivada u'(\theta)=3.

Passo 5

Calcule a derivada da parte que depende de \theta:
\frac{d}{d\theta}\operatorname{sen}(3\theta)=\cos(3\theta)\cdot 3 = 3\cos(3\theta).
Agora voltamos ao produto com o fator constante \cos(2\varphi).

Passo 6

Juntando tudo: multiplicando o fator constante pela derivada obtida, temos
\frac{\partial f}{\partial \theta}(\theta,\varphi)=\cos(2\varphi)\cdot 3\cos(3\theta).
Simplificando a escrita:
\frac{\partial f}{\partial \theta}(\theta,\varphi)=3\cos(2\varphi)\cos(3\theta).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial \theta}(\theta,\varphi)=3\cos(2\varphi)\cos(3\theta)

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