Calcule a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial de
em relação a
.
Informações dadas: a função depende de duas variáveis e
; devemos manter todas as variáveis constantes exceto
, ou seja,
é tratada como constante durante a diferenciação. A notação que queremos é
.
Informações dadas: a função depende de duas variáveis
Passo 2
Entendimento do que é derivada parcial (rápido e intuitivo): a derivada parcial
mede como
varia quando só alteramos
, mantendo
fixo. Formalmente seria o limite
mas aqui usaremos as regras usuais de diferenciação (regra do fator constante e regra da cadeia) aplicadas como se fosse uma derivada ordinária em
com
constante.
Passo 3
Aplicação da regra do fator constante: como
depende somente de
e
é mantida constante, podemos tratar
como um multiplicador constante. Logo escrevemos
Ao derivar em relação a
o fator
sai multiplicando a derivada de
.
Passo 4
Regra da cadeia (explicada): quando temos uma função composta
, a derivada em relação a
é
Aqui
. Então primeiro identificamos
e calculamos sua derivada
.
Passo 5
Calcule a derivada da parte que depende de
:
Agora voltamos ao produto com o fator constante
.
Passo 6
Juntando tudo: multiplicando o fator constante pela derivada obtida, temos
Simplificando a escrita: