Calcule a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
f(x, y, z)=4 x y z+\ln (2 x y z) ; \quad \frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=4xyz+\ln(2xyz)
e pede que eu calcule a derivada parcial \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z), ou seja, a taxa de variação de f quando apenas z varia e x,y são mantidos constantes. As informações relevantes que temos são: a expressão explícita de f e que, ao derivar parcialmente por z, devo tratar x e y como constantes.

Passo 2

Lembrete conceitual básico (passo a passo do que é derivada parcial): a derivada parcial de f em relação a z é a derivada ordinária da função obtida ao fixar x e y. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}.
Na prática, isso significa que, ao derivar, eu trato x e y como constantes numéricas; só aplico regras de diferenciação em relação a z.

Passo 3

Uso a linearidade da derivada (soma): a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais. Ou seja,
\frac{\partial}{\partial z}\big(4xyz+\ln(2xyz)\big) = \frac{\partial}{\partial z}\big(4xyz\big) + \frac{\partial}{\partial z}\big(\ln(2xyz)\big).
Vou calcular cada parcela separadamente.

Passo 4

Derivando a primeira parcela \displaystyle 4xyz em relação a z: como 4x y é um fator que não depende de z (tratamos x e y como constantes), a expressão é uma constante multiplicando z. A regra é que a derivada de a\cdot z (com a constante) é a. Logo,
\frac{\partial}{\partial z}\big(4xyz\big)=4xy.
Explicando de outro jeito: poderíamos ver 4xyz=(4xy)\,z; derivando em relação a z obtemos 4xy\cdot 1.

Passo 5

Derivando a segunda parcela \displaystyle \ln(2xyz): aqui uso a regra da cadeia. Regra da cadeia para \ln(u(z)): se u é função de z, então
\frac{d}{dz}\ln(u(z))=\frac{u'(z)}{u(z)}.
No nosso caso, tomo u(z)=2xyz. Como x e y são constantes em relação a z, a derivada de u em relação a z é
u'(z)=\frac{d}{dz}(2xyz)=2xy.
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial z}\big(\ln(2xyz)\big)=\frac{u'(z)}{u(z)}=\frac{2xy}{2xyz}.
Simplificando a fração (cancelando 2xy),
\frac{2xy}{2xyz}=\frac{1}{z}.
Observação sobre domínio: a função \ln(2xyz) só está definida quando 2xyz>0; onde estiver definida, a derivada acima vale.

Passo 6

Somando as duas parcelas que calculei:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=4xy+\frac{1}{z}.
Essa é a expressão final da derivada parcial em termos de x,y,z. Dá para verificar rapidamente com um exemplo numérico: se x=1,y=2,z=3, então 4xy=8 e 1/z=\tfrac{1}{3}, total 8+\tfrac{1}{3}, que é a taxa de variação de f naquela direção.

Resposta

4xy+\frac{1}{z}

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