Calcule a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu calcule a derivada parcial
, ou seja, a taxa de variação de
quando apenas
varia e
são mantidos constantes. As informações relevantes que temos são: a expressão explícita de
e que, ao derivar parcialmente por
, devo tratar
e
como constantes.
Passo 2
Lembrete conceitual básico (passo a passo do que é derivada parcial): a derivada parcial de
em relação a
é a derivada ordinária da função obtida ao fixar
e
. Formalmente,
Na prática, isso significa que, ao derivar, eu trato
e
como constantes numéricas; só aplico regras de diferenciação em relação a
.
Passo 3
Uso a linearidade da derivada (soma): a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais. Ou seja,
Vou calcular cada parcela separadamente.
Passo 4
Derivando a primeira parcela
em relação a
: como
é um fator que não depende de
(tratamos
e
como constantes), a expressão é uma constante multiplicando
. A regra é que a derivada de
(com
constante) é
. Logo,
Explicando de outro jeito: poderíamos ver
; derivando em relação a
obtemos
.
Passo 5
Derivando a segunda parcela
: aqui uso a regra da cadeia. Regra da cadeia para
: se
é função de
, então
No nosso caso, tomo
. Como
e
são constantes em relação a
, a derivada de
em relação a
é
Aplicando a regra da cadeia,
Simplificando a fração (cancelando
),
Observação sobre domínio: a função
só está definida quando
; onde estiver definida, a derivada acima vale.
Passo 6
Somando as duas parcelas que calculei:
Essa é a expressão final da derivada parcial em termos de
. Dá para verificar rapidamente com um exemplo numérico: se
, então
e
, total
, que é a taxa de variação de
naquela direção.