Calcule a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
f(x, y, z)=e^{x y} \operatorname{sinh} z-e^{x y} \operatorname{cosh} z ; \frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de f em relação a z, mantendo x e y constantes. As informações dadas são:
f(x,y,z)=e^{x y}\operatorname{sinh} z-e^{x y}\operatorname{cosh} z.
A pergunta específica é: calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z).

Passo 2

Relembre duas regras fundamentais que vamos usar (explicadas com calma):
  1. Regra do fator constante para derivadas parciais: se uma função é produto de uma expressão que não depende da variável de diferenciação (aqui e^{x y} não depende de z), então essa expressão age como constante e pode ser fatorada para fora da derivada. Ex.: \dfrac{\partial}{\partial z}\big(C\cdot g(z)\big)=C\cdot \dfrac{d}{dz}g(z) quando C é constante em relação a z.
  2. Derivadas das funções hiperbólicas (fórmulas básicas):
\frac{d}{dz}\operatorname{sinh} z=\operatorname{cosh} z,\qquad \frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{sinh} z.
Aqui não precisamos de cadeia complicada porque o argumento das hiperbólicas é exatamente z.

Passo 3

Vamos aplicar a regra do fator constante. Primeiro, fatoramos e^{x y} que é constante quando derivamos em relação a z:
f(x,y,z)=e^{x y}\big(\operatorname{sinh} z-\operatorname{cosh} z\big).
Agora derivamos em relação a z, tratando e^{x y} como constante:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = e^{x y}\cdot\frac{d}{dz}\big(\operatorname{sinh} z-\operatorname{cosh} z\big).
Usando as derivadas das hiperbólicas:
\frac{d}{dz}\big(\operatorname{sinh} z-\operatorname{cosh} z\big)=\operatorname{cosh} z-\operatorname{sinh} z.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=e^{x y}\big(\operatorname{cosh} z-\operatorname{sinh} z\big).

Passo 4

Podemos simplificar ainda mais usando a identidade entre exponenciais e hiperbólicas. Lembre que
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},\qquad \operatorname{sinh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
Subtraindo, obtemos
\operatorname{cosh} z-\operatorname{sinh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}-\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}=e^{-z}.
Assim a derivada pode ser escrita de forma bem simples:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=e^{x y}\,e^{-z}=e^{x y - z}.

Resposta

e^{x y}(\operatorname{cosh} z-\operatorname{sinh} z)=e^{x y - z}

Exercícios relacionados