Calcule a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
e
constantes. As informações dadas são:
.
A pergunta específica é: calcular .
A pergunta específica é: calcular
Passo 2
Relembre duas regras fundamentais que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra do fator constante para derivadas parciais: se uma função é produto de uma expressão que não depende da variável de diferenciação (aqui
não depende de ), então essa expressão age como constante e pode ser fatorada para fora da derivada. Ex.: quando é constante em relação a . - Derivadas das funções hiperbólicas (fórmulas básicas):
Aqui não precisamos de cadeia complicada porque o argumento das hiperbólicas é exatamente
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do fator constante. Primeiro, fatoramos
que é constante quando derivamos em relação a
:
Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante:
Usando as derivadas das hiperbólicas:
Portanto,
Passo 4
Podemos simplificar ainda mais usando a identidade entre exponenciais e hiperbólicas. Lembre que
Subtraindo, obtemos
Assim a derivada pode ser escrita de forma bem simples: