Calcule a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial de
em relação a
, ou seja
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável que vamos derivar é
. - As variáveis que permanecem constantes durante a diferenciação são
e . - A função é soma de três termos:
, e .
Passo 2
Conceito básico (didático e direto): a derivada parcial
mede como
varia quando só mudamos
, mantendo
e
fixos. Formalmente,
mas na prática, para funções somas de termos simples, usamos as regras usuais de derivação (linearidade, regra da potência, derivada do exponencial, derivada de constante) tratando
e
como constantes multiplicativas. Vou aplicar essas regras termo a termo.
Passo 3
Pela linearidade da derivada (a derivada da soma é a soma das derivadas) e pela regra do fator constante (constantes multiplicam a derivada), escrevo:
Passo 4
Derivando o primeiro termo
: aqui
é constante (não depende de
). Use a regra da potência: a derivada de
em relação a
é
. Assim,
Explicação rápida da regra da potência: para
com
inteiro,
. Aqui
.
Passo 5
Derivando o segundo termo
: os fatores
e
são constantes (não dependem de
). A derivada de
é
. Logo,
Regra usada:
.
Passo 6
Derivando o terceiro termo
: este termo não depende de
(é constante em relação a
), portanto sua derivada é zero:
Regra usada: a derivada de uma constante é
.
Passo 7
Juntando os resultados dos passos anteriores (somando as derivadas termo a termo), obtemos:
Simplificando:
Passo 8
Checagem rápida e dica de prova: um jeito rápido de conferir é olhar os termos originais — qualquer fator que contenha
deve gerar algo não nulo; termos sem
viram zero. Ex.: se tivéssemos
, então
(mesma ideia aplicada).