Calcule a derivada parcial indicada, mantendo todas as variáveis constantes menos uma, e aplicando os teoremas para derivação ordinária.
f(r, \Theta, \Phi)=4 r^{5} \operatorname{sen} \Theta+5 e^{r} \cos \Theta \operatorname{sen} \Phi- 20 \operatorname{sen} \Phi ; \quad \frac{\partial f}{\partial r}(r, \Theta, \Phi)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(r,\Theta,\Phi)=4 r^{5} \operatorname{sen}\Theta+5 e^{r} \cos\Theta \operatorname{sen}\Phi-20 \operatorname{sen}\Phi
e pede a derivada parcial de f em relação a r, ou seja \dfrac{\partial f}{\partial r}(r,\Theta,\Phi).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável que vamos derivar é r.
  • As variáveis que permanecem constantes durante a diferenciação são \Theta e \Phi.
  • A função é soma de três termos: 4 r^{5} \operatorname{sen}\Theta, 5 e^{r} \cos\Theta \operatorname{sen}\Phi e -20 \operatorname{sen}\Phi.

Passo 2

Conceito básico (didático e direto): a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial r} mede como f varia quando só mudamos r, mantendo \Theta e \Phi fixos. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial r}(r,\Theta,\Phi)=\lim_{h\to 0}\frac{f(r+h,\Theta,\Phi)-f(r,\Theta,\Phi)}{h},
mas na prática, para funções somas de termos simples, usamos as regras usuais de derivação (linearidade, regra da potência, derivada do exponencial, derivada de constante) tratando \Theta e \Phi como constantes multiplicativas. Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 3

Pela linearidade da derivada (a derivada da soma é a soma das derivadas) e pela regra do fator constante (constantes multiplicam a derivada), escrevo:
\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\big(4 r^{5} \operatorname{sen}\Theta\big) +\frac{\partial}{\partial r}\big(5 e^{r} \cos\Theta \operatorname{sen}\Phi\big) +\frac{\partial}{\partial r}\big(-20 \operatorname{sen}\Phi\big).

Passo 4

Derivando o primeiro termo \;4 r^{5} \operatorname{sen}\Theta: aqui \operatorname{sen}\Theta é constante (não depende de r). Use a regra da potência: a derivada de r^{5} em relação a r é 5 r^{4}. Assim,
\frac{\partial}{\partial r}\big(4 r^{5} \operatorname{sen}\Theta\big) =4\operatorname{sen}\Theta\cdot\frac{d}{dr}(r^{5}) =4\operatorname{sen}\Theta\cdot 5 r^{4} =20 r^{4}\operatorname{sen}\Theta.
Explicação rápida da regra da potência: para r^{n} com n inteiro, \dfrac{d}{dr}r^{n}=n r^{n-1}. Aqui n=5.

Passo 5

Derivando o segundo termo \;5 e^{r} \cos\Theta \operatorname{sen}\Phi: os fatores \cos\Theta e \operatorname{sen}\Phi são constantes (não dependem de r). A derivada de e^{r} é e^{r}. Logo,
\frac{\partial}{\partial r}\big(5 e^{r} \cos\Theta \operatorname{sen}\Phi\big) =5\cos\Theta\operatorname{sen}\Phi\cdot\frac{d}{dr}(e^{r}) =5\cos\Theta\operatorname{sen}\Phi\cdot e^{r} =5 e^{r}\cos\Theta\operatorname{sen}\Phi.
Regra usada: \dfrac{d}{dr}e^{r}=e^{r}.

Passo 6

Derivando o terceiro termo \;-20 \operatorname{sen}\Phi: este termo não depende de r (é constante em relação a r), portanto sua derivada é zero:
\frac{\partial}{\partial r}\big(-20 \operatorname{sen}\Phi\big)=0.
Regra usada: a derivada de uma constante é 0.

Passo 7

Juntando os resultados dos passos anteriores (somando as derivadas termo a termo), obtemos:
\frac{\partial f}{\partial r}(r,\Theta,\Phi) =20 r^{4}\operatorname{sen}\Theta+5 e^{r}\cos\Theta\operatorname{sen}\Phi+0.
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial r}(r,\Theta,\Phi)=20 r^{4}\operatorname{sen}\Theta+5 e^{r}\cos\Theta\operatorname{sen}\Phi.

Passo 8

Checagem rápida e dica de prova: um jeito rápido de conferir é olhar os termos originais — qualquer fator que contenha r deve gerar algo não nulo; termos sem r viram zero. Ex.: se tivéssemos g(r,\Theta)=r^{3}\operatorname{sen}\Theta, então \partial g/\partial r=3 r^{2}\operatorname{sen}\Theta (mesma ideia aplicada).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial r}(r,\Theta,\Phi)=20 r^{4}\operatorname{sen}\Theta+5 e^{r}\cos\Theta\operatorname{sen}\Phi

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