Calcule as derivadas das funções a seguir.
f(x)=2\left(x^{2}+1\right) \arctan (x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2\left(x^{2}+1\right)\arctan(x)
e pede para calcular a derivada f'(x). Informação relevante: a função é produto de um fator constante 2 e de um produto \left(x^{2}+1\right)\arctan(x). A tarefa é derivar passo a passo e explicar as regras usadas.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): usar a regra do fator constante e a regra do produto. Explicando em palavras: se uma função é um número vezes outra função, a derivada é esse número vezes a derivada da função; se a função é produto de duas funções u(x) e v(x), a derivada é u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Também vou usar a derivada conhecida de \arctan(x).

Passo 3

Revisão das regras que vou usar (aula rápida):
  • Regra do fator constante: para constante c e função g(x),
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
Aqui c=2 e g(x)=(x^{2}+1)\arctan(x).
  • Regra do produto: para u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivada de \arctan(x): uma maneira rápida de ver é por diferenciação implícita. Seja y=\arctan(x). Então \tan(y)=x. Diferenciando ambos os lados:
\operatorname{sec}^{2}(y)\,y' = 1 \quad\Rightarrow\quad y'=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)}=\cos^{2}(y).
Como \tan^{2}(y)+1=\operatorname{sec}^{2}(y) e \tan(y)=x, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Aplicando as regras à função dada. Primeiro identifique as funções internas:
u(x)=x^{2}+1,\qquad v(x)=\arctan(x).
Calcule as derivadas de cada uma:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+1\big)=2x, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Agora calcule a derivada de g(x)=(x^{2}+1)\arctan(x) usando a regra do produto:
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\cdot\arctan(x)+(x^{2}+1)\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Observe que (x^{2}+1)/(1+x^{2})=1, logo
g'(x)=2x\arctan(x)+1.
Finalmente, aplicando a regra do fator constante para f(x)=2\,g(x):
f'(x)=2\,g'(x)=2\big(2x\arctan(x)+1\big).

Passo 6

Comentário e verificação rápida: a expressão obtida pode ser escrita de forma expandida simplificando o parênteses. Para checar com um valor fácil, em x=0 temos \arctan(0)=0, então da fórmula f'(0)=2(0+1)=2, o que é consistente.

Resposta

f'(x)=4x\arctan(x)+2

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