Calcule as derivadas das funções a seguir.
f(x)=2\left(x^{2}+1\right) \arctan (x).
f(x)=2\left(x^{2}+1\right) \arctan (x).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informação relevante: a função é produto de um fator constante
e de um produto
. A tarefa é derivar passo a passo e explicar as regras usadas.
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): usar a regra do fator constante e a regra do produto. Explicando em palavras: se uma função é um número vezes outra função, a derivada é esse número vezes a derivada da função; se a função é produto de duas funções
e
, a derivada é
. Também vou usar a derivada conhecida de
.
Passo 3
Revisão das regras que vou usar (aula rápida):
- Regra do fator constante: para constante
e função ,
Aqui
e
.
- Regra do produto: para
e ,
- Derivada de
: uma maneira rápida de ver é por diferenciação implícita. Seja . Então . Diferenciando ambos os lados:
Como
e
, obtemos
Passo 4
Aplicando as regras à função dada. Primeiro identifique as funções internas:
Calcule as derivadas de cada uma:
Passo 5
Agora calcule a derivada de
usando a regra do produto:
Observe que
, logo
Finalmente, aplicando a regra do fator constante para
:
Passo 6
Comentário e verificação rápida: a expressão obtida pode ser escrita de forma expandida simplificando o parênteses. Para checar com um valor fácil, em
temos
, então da fórmula
, o que é consistente.