Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
b) f(x)=x \operatorname{arccos} (\sin x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x\operatorname{arccos}(\sin x).
Informações relevantes dadas:
  • A função é o produto de duas funções: x e \operatorname{arccos}(\sin x).
  • A função trigonométrica inversa envolvida é \operatorname{arccos} aplicada a \sin x.
  • Não há restrição explícita no enunciado sobre domínio, mas devemos lembrar que derivadas podem falhar onde aparecem divisões por zero (isto vai aparecer na cadeia).

Passo 2

Vamos usar a fórmula da derivada do produto. A regra do produto diz o seguinte: se temos duas funções u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Explicando cada símbolo: u'(x) significa a derivada de u em relação a x; v'(x) é a derivada de v em relação a x. Aqui vamos identificar claramente u e v para aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Identificamos as partes do produto:
u(x)=x,\qquad v(x)=\operatorname{arccos}(\sin x).
A derivada de u é simples e já conhecida:
u'(x)=\frac{d}{dx}x=1.
Isso significa que, na regra do produto, a primeira parcela será 1\cdot v(x)=\operatorname{arccos}(\sin x).

Passo 4

Agora precisamos de v'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arccos}(\sin x)\big). Para isso vamos usar duas fórmulas fundamentais:
  1. A derivada da função \operatorname{arccos} (tabela de derivadas das inversas trigonométricas) é, para uma variável t,
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{arccos} t\big) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Aqui t é a variável de entrada da função \operatorname{arccos}; a fórmula diz que a inclinação da \operatorname{arccos} em t é -1 dividido pela raiz quadrada de 1-t^2. É importante lembrar que a raiz é sempre a raiz principal (não-negativa).
  1. A derivada da função interna \sin x é
\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de uma composição \operatorname{arccos}(\sin x) é a derivada da função exterior avaliada na interior vezes a derivada da função interior. Em símbolos:
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccos}(\sin x)\big) = \left.\frac{d}{dt}\big(\operatorname{arccos} t\big)\right|_{t=\sin x}\cdot\frac{d}{dx}(\sin x).
Substituindo as fórmulas do passo anterior obtemos (este é um passo intermediário importante):
v'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sin x)^{2}}}\cdot\cos x = -\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^{2}x}}.
Observação didática: a expressão \sqrt{1-\sin^{2}x} pode ser reescrita como |\cos x|, porque 1-\sin^{2}x=\cos^{2}x e a raiz principal de \cos^{2}x é |\cos x|. Vou comentar isso no próximo passo porque afeta a forma simplificada e a existência da derivada.

Passo 6

Comentário sobre simplificação e domínio: como \sqrt{1-\sin^{2}x}=\sqrt{\cos^{2}x}=|\cos x|, podemos escrever
v'(x) = -\frac{\cos x}{|\cos x|} \qquad\text{(sempre que }\cos x\neq 0\text{).}
A quantidade -\dfrac{\cos x}{|\cos x|} é simplesmente -\operatorname{sgn}(\cos x), isto é, v'(x)=-1 quando \cos x>0 e v'(x)=+1 quando \cos x<0. Nos pontos onde \cos x=0 (equivalente a \sin^{2}x=1), a expressão original para v'(x) tem denominador zero e a derivada não existe (são pontos do tipo x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}).

Passo 7

Voltando à regra do produto, temos todos os ingredientes: u'(x)=1, u(x)=x e v'(x)=-\dfrac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^{2}x}}. Substituindo na fórmula do passo 2 (aqui estou descrevendo a substituição; a forma final combinada da derivada está na seção de resposta):
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)
com as substituições adequadas. Lembre-se também da observação sobre simplificação usando |\cos x| e sobre os pontos onde a derivada não existe devido ao denominador nulo.

Resposta

f'(x)=\operatorname{arccos}(\sin x)-x\,\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^{2}x}}

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