Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
Verifique a igualdade das derivadas mistas ( f_{x y}=f_{y x} ) para f(x, y)=e^{x y}+y \sin (x).

Passo 1

O enunciado pede que você calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f e que verifique se as derivadas mistas são iguais, isto é, se f_{xy}=f_{yx}.
Informações dadas:
f(x,y)=e^{xy}+y\sin(x).
Perguntas explícitas a responder:
  1. Calcular f_{xx}(x,y).
  2. Calcular f_{yy}(x,y).
  3. Calcular f_{xy}(x,y).
  4. Calcular f_{yx}(x,y).
  5. Verificar se f_{xy}=f_{yx}.

Passo 2

Antes de derivar: o que é derivada parcial e que regras vamos usar (tudo mastigado e simples).
  • Definição intuitiva: a derivada parcial de f em relação a x (fixando y) mede a taxa de variação de f quando só mexemos em x. O mesmo para a derivada parcial em relação a y (fixando x).
  • Regras que usamos (em forma curta e clara):
    • Derivada de soma: \dfrac{\partial}{\partial x}(u+v)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial x}.
    • Derivada de produto (quando aparece produto de duas funções de x e y): \dfrac{\partial}{\partial x}(u\cdot v)=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}.
    • Regra da cadeia (para e^{g(x,y)}): \dfrac{\partial}{\partial x}e^{g(x,y)}=e^{g(x,y)}\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x}.
    • Derivadas conhecidas: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Vou aplicar essas regras passo a passo, não se assuste — é só seguir a receita.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}=f_x(x,y).
Começo derivando termo a termo:
f(x,y)=e^{xy}+y\sin x.
  1. Para e^{xy}: usar regra da cadeia com g(x,y)=xy.
\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=e^{xy}\cdot y.
(Observe que \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y porque y é tratado como constante ao derivar em relação a x.)
  1. Para y\sin x: y é constante em relação a x, então
\frac{\partial}{\partial x}(y\sin x)=y\cdot\frac{d}{dx}\sin x=y\cos x.
Somando:
f_x(x,y)=y e^{xy}+y\cos x.

Passo 4

Calcular a primeira derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y}=f_y(x,y).
Derivando termo a termo:
  1. Para e^{xy}: usar regra da cadeia com g(x,y)=xy.
\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=e^{xy}\cdot x.
(Aqui \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x porque x é tratado como constante.)
  1. Para y\sin x: \sin x é constante em relação a y, então
\frac{\partial}{\partial y}(y\sin x)=\sin x.
Somando:
f_y(x,y)=x e^{xy}+\sin x.

Passo 5

Calcular a segunda derivada parcial \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y), isto é, derivar f_x em relação a x.
Recordando f_x(x,y)=y e^{xy}+y\cos x.
  1. Derivando y e^{xy} em relação a x: y é constante, aplicar regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\big(y e^{xy}\big)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y\cdot e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y\cdot e^{xy}\cdot y = y^{2} e^{xy}.
  1. Derivando y\cos x em relação a x: y é constante, \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(y\cos x\big)=y\cdot(-\sin x)=-y\sin x.
Somando:
f_{xx}(x,y)=y^{2} e^{xy}-y\sin x.

Passo 6

Calcular a segunda derivada parcial \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y), isto é, derivar f_y em relação a y.
Recordando f_y(x,y)=x e^{xy}+\sin x.
  1. Derivando x e^{xy} em relação a y: x é constante, aplicar regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{xy}\big)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x\cdot e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x\cdot e^{xy}\cdot x = x^{2} e^{xy}.
  1. Derivando \sin x em relação a y: é zero, pois não depende de y:
\frac{\partial}{\partial y}\sin x = 0.
Somando:
f_{yy}(x,y)=x^{2} e^{xy}.

Passo 7

Calcular a derivada mista \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=f_{xy}(x,y): derivar f_x em relação a y.
Lembre que f_x(x,y)=y e^{xy}+y\cos x.
Derivamos termo a termo em relação a y:
  1. Para y e^{xy}: aqui há produto de y por e^{xy}, então uso a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{xy}\big)=\frac{\partial y}{\partial y}\cdot e^{xy}+y\cdot\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}.
Calculando cada parte:
\frac{\partial y}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=e^{xy}\cdot x.
Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{xy}\big)=e^{xy}+y\cdot x e^{xy}=e^{xy}+xy e^{xy}=(1+xy)e^{xy}.
  1. Para y\cos x: derivando em relação a y, \cos x é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}(y\cos x)=\cos x.
Somando:
f_{xy}(x,y)=(1+xy)e^{xy}+\cos x.

Passo 8

Calcular a derivada mista \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=f_{yx}(x,y): derivar f_y em relação a x.
Recordando f_y(x,y)=x e^{xy}+\sin x.
Derivamos termo a termo em relação a x:
  1. Para x e^{xy}: produto de x por e^{xy}, usar regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{xy}\big)=\frac{\partial x}{\partial x}\cdot e^{xy}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}.
Calculando:
\frac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=e^{xy}\cdot y.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{xy}\big)=e^{xy}+x\cdot y e^{xy}=e^{xy}+xy e^{xy}=(1+xy)e^{xy}.
  1. Para \sin x: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Somando:
f_{yx}(x,y)=(1+xy)e^{xy}+\cos x.

Passo 9

Comparação e verificação da igualdade das mistas:
Encontramos
f_{xy}(x,y)=(1+xy)e^{xy}+\cos x
e
f_{yx}(x,y)=(1+xy)e^{xy}+\cos x.
Portanto f_{xy}=f_{yx} para todo (x,y).
Um comentário prático: funções como e^{xy}, \sin x e produtos delas são suaves (têm derivadas de todas as ordens e essas derivadas são contínuas). Então a igualdade das derivadas mistas é esperada — a condição padrão do teorema (Clairaut / Schwarz) que garante f_{xy}=f_{yx} está satisfeita aqui.

Resposta

f_{xx}(x,y)=y^{2}e^{xy}-y\sin x
f_{yy}(x,y)=x^{2}e^{xy}
f_{xy}(x,y)=(1+xy)e^{xy}+\cos x
f_{yx}(x,y)=(1+xy)e^{xy}+\cos x

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