Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
Verifique a igualdade das derivadas mistas (
) para
.
Verifique a igualdade das derivadas mistas (
Passo 1
O enunciado pede que você calcule as derivadas parciais de segunda ordem de
e que verifique se as derivadas mistas são iguais, isto é, se
.
Informações dadas:
Perguntas explícitas a responder:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
. - Calcular
. - Verificar se
.
Passo 2
Antes de derivar: o que é derivada parcial e que regras vamos usar (tudo mastigado e simples).
-
Definição intuitiva: a derivada parcial de
em relação a (fixando ) mede a taxa de variação de quando só mexemos em . O mesmo para a derivada parcial em relação a (fixando ). -
Regras que usamos (em forma curta e clara):
- Derivada de soma:
. - Derivada de produto (quando aparece produto de duas funções de
e ): . - Regra da cadeia (para
): . - Derivadas conhecidas:
, .
- Derivada de soma:
Vou aplicar essas regras passo a passo, não se assuste — é só seguir a receita.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial
.
Começo derivando termo a termo:
- Para
: usar regra da cadeia com .
(Observe que
porque
é tratado como constante ao derivar em relação a
.)
- Para
: é constante em relação a , então
Somando:
Passo 4
Calcular a primeira derivada parcial
.
Derivando termo a termo:
- Para
: usar regra da cadeia com .
(Aqui
porque
é tratado como constante.)
- Para
: é constante em relação a , então
Somando:
Passo 5
Calcular a segunda derivada parcial
, isto é, derivar
em relação a
.
Recordando
.
- Derivando
em relação a : é constante, aplicar regra da cadeia:
- Derivando
em relação a : é constante, , então
Somando:
Passo 6
Calcular a segunda derivada parcial
, isto é, derivar
em relação a
.
Recordando
.
- Derivando
em relação a : é constante, aplicar regra da cadeia:
- Derivando
em relação a : é zero, pois não depende de :
Somando:
Passo 7
Calcular a derivada mista
: derivar
em relação a
.
Lembre que
.
Derivamos termo a termo em relação a
:
- Para
: aqui há produto de por , então uso a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto
- Para
: derivando em relação a , é constante, então
Somando:
Passo 8
Calcular a derivada mista
: derivar
em relação a
.
Recordando
.
Derivamos termo a termo em relação a
:
- Para
: produto de por , usar regra do produto:
Calculando:
Portanto
- Para
: .
Somando:
Passo 9
Comparação e verificação da igualdade das mistas:
Encontramos
e
Portanto
para todo
.
Um comentário prático: funções como
,
e produtos delas são suaves (têm derivadas de todas as ordens e essas derivadas são contínuas). Então a igualdade das derivadas mistas é esperada — a condição padrão do teorema (Clairaut / Schwarz) que garante
está satisfeita aqui.