Calcule, se existir, a função potencial para o campo vetorial:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O campo vetorial fornecido é
com
- A pergunta é: "Calcule, se existir, a função potencial para o campo vetorial
". Ou seja, existe alguma função escalar tal que
isto é,
Passo 2
O que significa ter uma função potencial e como testar rapidamente se ela existe.
- Definição prática: uma função
é potencial para quando . Isso implica que as derivadas parciais de satisfazem exatamente as igualdades do passo anterior. - Propriedade necessária (compatibilidade das derivadas mistas): se
é suficientemente suave (duas derivadas contínuas) então as derivadas mistas de comutam (teorema de Schwarz), o que leva às condições
- Em palavras: comparar as derivadas cruzadas dos componentes do campo. Se alguma dessas igualdades falhar, então não existe
globalmente (no domínio em que o campo é definido), assumindo domínio simples e funções suaves. - Observação sobre domínio: o campo está definido em todo
(não há singularidades explícitas), que é simplesmente conexo; portanto, nessas condições, as igualdades acima são também suficientes para garantir existência de potencial. Logo basta checar-as.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias e comparar — primeiro par de condições.
- Calcular
. Como
temos
- Calcular
. Como
temos
- Comparação: as duas expressões são
Essas duas são iguais apenas se
, ou seja, se
. Isso não é verdade para todo
(a igualdade só ocorreria em pontos isolados, por exemplo
, mas não globalmente). Portanto a primeira condição de compatibilidade falha em geral.
Passo 4
Verificar as outras duas condições (para completar a análise).
- Calcular
. Como ,
- Calcular
. Como ,
Essas duas são iguais (boa notícia, mas não suficiente).
- Calcular
. Como ,
- Calcular
. Como ,
Essas duas também são iguais.
Passo 5
Interpretação dos resultados e conclusão lógica.
- Constatamos que duas das três condições de compatibilidade são satisfeitas:
- Porém a condição
não é satisfeita para todo
, pois
em geral.
- Como o campo está definido em todo
(domínio simplesmente conexo) e as componentes são suaves, a falha dessa igualdade implica que NÃO existe uma função potencial global tal que .
Resposta
Não existe função potencial para
(o campo não é conservativo, pois
em geral).