Calcule, se existir, a função potencial para o campo vetorial:
\mathbf{F}=\left(e^{x} \cos y+y z\right) \mathbf{i}+\left(x z-e^{x} y\right) \mathbf{j}+(x y+z) \mathbf{k}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O campo vetorial fornecido é \mathbf{F}=(P,Q,R) com
P(x,y,z)=e^{x}\cos y+y z, \qquad Q(x,y,z)=x z-e^{x}y, \qquad R(x,y,z)=x y+z.
  • A pergunta é: "Calcule, se existir, a função potencial para o campo vetorial \mathbf{F}". Ou seja, existe alguma função escalar \varphi(x,y,z) tal que
\nabla\varphi=\mathbf{F},
isto é,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=R?

Passo 2

O que significa ter uma função potencial e como testar rapidamente se ela existe.
  • Definição prática: uma função \varphi(x,y,z) é potencial para \mathbf{F} quando \nabla\varphi=\mathbf{F}. Isso implica que as derivadas parciais de \varphi satisfazem exatamente as igualdades do passo anterior.
  • Propriedade necessária (compatibilidade das derivadas mistas): se \varphi é suficientemente suave (duas derivadas contínuas) então as derivadas mistas de \varphi comutam (teorema de Schwarz), o que leva às condições
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \qquad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
  • Em palavras: comparar as derivadas cruzadas dos componentes do campo. Se alguma dessas igualdades falhar, então não existe \varphi globalmente (no domínio em que o campo é definido), assumindo domínio simples e funções suaves.
  • Observação sobre domínio: o campo está definido em todo \mathbb{R}^3 (não há singularidades explícitas), que é simplesmente conexo; portanto, nessas condições, as igualdades acima são também suficientes para garantir existência de potencial. Logo basta checar-as.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias e comparar — primeiro par de condições.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como
P(x,y,z)=e^{x}\cos y+y z,
temos
\frac{\partial P}{\partial y}=-e^{x}\sin y + z.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como
Q(x,y,z)=x z-e^{x}y,
temos
\frac{\partial Q}{\partial x}=z - e^{x}y.
  • Comparação: as duas expressões são
\frac{\partial P}{\partial y}=-e^{x}\sin y + z, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=z - e^{x}y.
Essas duas são iguais apenas se -e^{x}\sin y = -e^{x}y, ou seja, se \sin y = y. Isso não é verdade para todo y (a igualdade só ocorreria em pontos isolados, por exemplo y=0, mas não globalmente). Portanto a primeira condição de compatibilidade falha em geral.

Passo 4

Verificar as outras duas condições (para completar a análise).
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial z}. Como P=e^{x}\cos y+y z,
\frac{\partial P}{\partial z}=y.
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial x}. Como R=x y+z,
\frac{\partial R}{\partial x}=y.
Essas duas são iguais (boa notícia, mas não suficiente).
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial z}. Como Q=x z-e^{x}y,
\frac{\partial Q}{\partial z}=x.
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial y}. Como R=x y+z,
\frac{\partial R}{\partial y}=x.
Essas duas também são iguais.

Passo 5

Interpretação dos resultados e conclusão lógica.
  • Constatamos que duas das três condições de compatibilidade são satisfeitas:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
  • Porém a condição
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
não é satisfeita para todo (x,y,z), pois
\frac{\partial P}{\partial y}=-e^{x}\sin y + z \neq z - e^{x}y=\frac{\partial Q}{\partial x}
em geral.
  • Como o campo está definido em todo \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo) e as componentes são suaves, a falha dessa igualdade implica que NÃO existe uma função potencial global \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Resposta

Não existe função potencial para \mathbf{F} (o campo não é conservativo, pois \dfrac{\partial P}{\partial y}=-e^{x}\sin y+z\neq z-e^{x}y=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em geral).

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