Calcule o fator de empacotamento atômico, o número de coordenação e o número de átomos por célula unitária da estrutura cúbica de corpo centrado.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a estrutura cúbica de corpo centrado (BCC):
- Calcular o fator de empacotamento atômico (APF).
- Calcular o número de coordenação.
- Calcular o número de átomos por célula unitária.
Informações geométricas relevantes (padrão para BCC) que usarei sem perguntar nada:
- A célula unitária cúbica tem átomos em seus 8 vértices (cantos) e um átomo no centro do cubo (body center).
- Os átomos são modelados como esferas rígidas que se tocam ao longo da diagonal do cubo (a hipótese padrão para estruturas cristalinas simples).
- Notações que vou usar daqui em diante:
-
= parâmetro de rede (lado do cubo); -
= raio atômico (raio da esfera que modela o átomo).
-
Passo 2
Número de átomos por célula unitária (explicação passo a passo).
Cada canto do cubo contém um átomo, mas cada átomo de canto é compartilhado por 8 células unitárias adjacentes. Então a contribuição efetiva por célula de cada átomo de canto é
. Como há 8 cantos:
Além disso existe 1 átomo totalmente contido no centro da célula:
Somando:
Portanto, a célula BCC contém
átomos efetivos por célula unitária.
Passo 3
Relação entre o parâmetro de rede
e o raio atômico
(passo essencial para o APF).
Considere a diagonal do cubo que vai de um canto até o canto oposto. O comprimento dessa diagonal é, geometricamente,
Ao longo dessa diagonal encontram-se os centros de três esferas: um átomo de canto, o átomo do centro do cubo e o átomo do canto oposto. Na hipótese de esferas que se tocam, o átomo do centro toca cada átomo de canto ao longo dessa linha; a distância centro-a-centro entre um canto e o átomo central é
. Assim, a diagonal inteira vale a soma desses dois trechos iguais:
Dessa igualdade segue a relação usada adiante:
Passo 4
Definição e cálculo do fator de empacotamento atômico (APF) — passo a passo didático.
Definição: o APF é a razão entre o volume total ocupado pelas esferas atômicas dentro da célula unitária e o volume da própria célula unitária:
- Volume ocupado pelos átomos na célula: há
átomos por célula (Passo 2) e o volume de uma esfera é . Logo
- Volume da célula unitária cúbica:
Mas lembrando
, então
- Agora o APF:
Simplificando (os
e os fatores
se cancelam):
- Valor numérico aproximado (para usar na prova, saber magnitude):
Passo 5
Número de coordenação — explicação clara e intuitiva.
Definição: o número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos (átomos cuja distância ao átomo em questão é a menor possível — ou seja, os que “tocam” o átomo).
Na BCC, o átomo do centro toca os 8 átomos dos cantos (um em cada canto do cubo), todos à mesma distância
. Portanto o átomo central tem
vizinhos mais próximos. Numa rede infinita e perfeita, essa é a mesma contagem para qualquer átomo (simetria da rede), então o número de coordenação da estrutura BCC é
Passo 6
Pequena interpretação física (resumo útil para a prova).
- A BCC tem
átomos por célula, número de coordenação e APF menor que a da FCC (FCC tem ), o que significa que BCC é menos densamente empacotada que FCC. Esses números são frequentemente pedidos em provas e são diretos quando se lembra da relação e da contagem de cantos + centro.