Calcule o fator de empacotamento atômico, o número de coordenação e o número de átomos por célula unitária da estrutura cúbica de corpo centrado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a estrutura cúbica de corpo centrado (BCC):
  • Calcular o fator de empacotamento atômico (APF).
  • Calcular o número de coordenação.
  • Calcular o número de átomos por célula unitária.
Informações geométricas relevantes (padrão para BCC) que usarei sem perguntar nada:
  • A célula unitária cúbica tem átomos em seus 8 vértices (cantos) e um átomo no centro do cubo (body center).
  • Os átomos são modelados como esferas rígidas que se tocam ao longo da diagonal do cubo (a hipótese padrão para estruturas cristalinas simples).
  • Notações que vou usar daqui em diante:
    • a = parâmetro de rede (lado do cubo);
    • r = raio atômico (raio da esfera que modela o átomo).

Passo 2

Número de átomos por célula unitária (explicação passo a passo).
Cada canto do cubo contém um átomo, mas cada átomo de canto é compartilhado por 8 células unitárias adjacentes. Então a contribuição efetiva por célula de cada átomo de canto é 1/8. Como há 8 cantos:
\text{átomos vindos dos cantos} = 8 \times \frac{1}{8} = 1.á
Além disso existe 1 átomo totalmente contido no centro da célula:
\text{átomo no centro} = 1.á
Somando:
\text{número de átomos por célula} = 1 + 1 = 2.úáé
Portanto, a célula BCC contém 2 átomos efetivos por célula unitária.

Passo 3

Relação entre o parâmetro de rede a e o raio atômico r (passo essencial para o APF).
Considere a diagonal do cubo que vai de um canto até o canto oposto. O comprimento dessa diagonal é, geometricamente,
\sqrt{3}\,a.
Ao longo dessa diagonal encontram-se os centros de três esferas: um átomo de canto, o átomo do centro do cubo e o átomo do canto oposto. Na hipótese de esferas que se tocam, o átomo do centro toca cada átomo de canto ao longo dessa linha; a distância centro-a-centro entre um canto e o átomo central é 2r. Assim, a diagonal inteira vale a soma desses dois trechos iguais:
\sqrt{3}\,a = 2r + 2r = 4r.
Dessa igualdade segue a relação usada adiante:
a = \frac{4r}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Definição e cálculo do fator de empacotamento atômico (APF) — passo a passo didático.
Definição: o APF é a razão entre o volume total ocupado pelas esferas atômicas dentro da célula unitária e o volume da própria célula unitária:
\text{APF} = \frac{\text{volume ocupado pelos átomos na célula}}{\text{volume da célula}}.áéé
  1. Volume ocupado pelos átomos na célula: há 2 átomos por célula (Passo 2) e o volume de uma esfera é \dfrac{4}{3}\pi r^3. Logo
V_{\text{átomos}} = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{8}{3}\pi r^3.á
  1. Volume da célula unitária cúbica:
V_{\text{célula}} = a^3.é
Mas lembrando a = \dfrac{4r}{\sqrt{3}}, então
a^3 = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{64\,r^3}{3\sqrt{3}}.
  1. Agora o APF:
\text{APF} = \frac{\dfrac{8}{3}\pi r^3}{\dfrac{64}{3\sqrt{3}} r^3}.
Simplificando (os r^3 e os fatores 3 se cancelam):
\text{APF} = \frac{8\pi}{1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8}.
  1. Valor numérico aproximado (para usar na prova, saber magnitude):
\frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}6802\quad\text{(ou aproximadamente }68{,}02\%\text{)}.

Passo 5

Número de coordenação — explicação clara e intuitiva.
Definição: o número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos (átomos cuja distância ao átomo em questão é a menor possível — ou seja, os que “tocam” o átomo).
Na BCC, o átomo do centro toca os 8 átomos dos cantos (um em cada canto do cubo), todos à mesma distância 2r. Portanto o átomo central tem 8 vizinhos mais próximos. Numa rede infinita e perfeita, essa é a mesma contagem para qualquer átomo (simetria da rede), então o número de coordenação da estrutura BCC é
\text{número de coordenação} = 8.úçã

Passo 6

Pequena interpretação física (resumo útil para a prova).
  • A BCC tem 2 átomos por célula, número de coordenação 8 e APF menor que a da FCC (FCC tem 0{,}7405), o que significa que BCC é menos densamente empacotada que FCC. Esses números são frequentemente pedidos em provas e são diretos quando se lembra da relação \sqrt{3}\,a = 4r e da contagem de cantos + centro.

Resposta

\text{Fator de empacotamento (APF)} = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}6802
\text{Número de coordenação} = 8úçã
\text{Número de átomos por célula unitária} = 2úáéá

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