Calcule:
\iiint_{G} z d x d y d z; onde G : corpo limitado pelo :\ncone z^{2}=x^{2}+y^{2} e a superficie x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\n(Use coordenadas Cilíndricas)(3,25V)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral
\iiint_{G} z\,dx\,dy\,dz,
onde G é o corpo limitado pelo cone z^{2}=x^{2}+y^{2} e pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4. Vou interpretar G como a parte do interior da esfera que fica acima do cone (isto é, a porção com z\ge 0 limitada inferiormente pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e superiormente pela esfera). Informações dadas:
  • Equação do cone: z^{2}=x^{2}+y^{2}, ou equivalentemente z=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Equação da esfera: x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 (raio 2).
  • Pedem o cálculo do integral triplo de z sobre G e instruem a usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Breve lembrete sobre coordenadas cilíndricas e elemento de volume (pra quem está meio no desespero: é simples).
  • Em coordenadas cilíndricas usa-se as variáveis (r,\theta,z) definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • O elemento de área na base tem dA = r\,dr\,d\theta. Assim o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do porquê do r: um anel radial de espessura dr e ângulo d\theta tem comprimento r\,d\theta, daí a área do anel é aproximadamente r\,d\theta\cdot dr. Por isso aparece o fator r (o jacobiano da mudança de variáveis).

Passo 3

Determinar os limites de integração: achar a curva de interseção cone–esfera para fixar o limite superior de r.
  • No cone superior temos z = r (pois \sqrt{x^2+y^2}=r). Substituindo na esfera:
r^{2}+z^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad r^{2}+r^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad 2r^{2}=4.
  • Logo
r^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{2}.
  • O valor de z na interseção é z=r=\sqrt{2}.
  • Para descrever G em cilíndricas:
    • \theta percorre toda a volta: 0\le \theta\le 2\pi.
    • r vai de 0 até a linha de interseção r=\sqrt{2}.
    • Para cada r fixo, z varia do cone (inferior) até a esfera (superior), ou seja de z=r até z=\sqrt{4-r^{2}}.
      Portanto os limites são
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le\sqrt{2},\quad r\le z\le\sqrt{4-r^{2}}.

Passo 4

Montar o integral em coordenadas cilíndricas, lembrando que dV=r\,dz\,dr\,d\theta e que a função integranda é z. Assim:
\iiint_{G} z\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{z=r}^{z=\sqrt{4-r^{2}}} z\; r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar primeiro em z. Calculemos
\int_{z=r}^{\sqrt{4-r^{2}}} z\; r\,dz = r\int_{r}^{\sqrt{4-r^{2}}} z\,dz = r\left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{z=r}^{z=\sqrt{4-r^{2}}}.
Avalia:
r\left(\tfrac{1}{2}\big(4-r^{2}\big) - \tfrac{1}{2}r^{2}\right) = r\cdot\tfrac{1}{2}\big(4-2r^{2}\big) = r(2-r^{2}).
Portanto o integral triplo reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} r(2-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 6

Agora integrar em r. Escrevendo o integrando de forma expandida:
\int_{0}^{\sqrt{2}} r(2-r^{2})\,dr = \int_{0}^{\sqrt{2}} (2r - r^{3})\,dr.
Integrando termo a termo:
\int (2r)\,dr = r^{2},\qquad \int r^{3}\,dr = \tfrac{1}{4}r^{4}.
Logo
\left[r^{2} - \tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \big( (\sqrt{2})^{2} - \tfrac{1}{4}(\sqrt{2})^{4}\big) - 0 = \big(2 - \tfrac{1}{4}\cdot 4\big) = 2 - 1 = 1.

Passo 7

Finalmente integrar em \theta. Como a integral em r deu 1, resta
\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi.
Portanto
\iiint_{G} z\,dx\,dy\,dz = 2\pi.

Resposta

\;2\pi

Exercícios relacionados