Calcule:
; onde
: corpo limitado pelo :\ncone
e a superficie
\n(Use coordenadas Cilíndricas)(3,25V)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral
onde
é o corpo limitado pelo cone
e pela esfera
. Vou interpretar
como a parte do interior da esfera que fica acima do cone (isto é, a porção com
limitada inferiormente pelo cone
e superiormente pela esfera). Informações dadas:
- Equação do cone:
, ou equivalentemente . - Equação da esfera:
(raio ). - Pedem o cálculo do integral triplo de
sobre e instruem a usar coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Breve lembrete sobre coordenadas cilíndricas e elemento de volume (pra quem está meio no desespero: é simples).
- Em coordenadas cilíndricas usa-se as variáveis
definidas por
- O elemento de área na base tem
. Assim o elemento de volume é
Explicação do porquê do
: um anel radial de espessura
e ângulo
tem comprimento
, daí a área do anel é aproximadamente
. Por isso aparece o fator
(o jacobiano da mudança de variáveis).
Passo 3
Determinar os limites de integração: achar a curva de interseção cone–esfera para fixar o limite superior de
.
- No cone superior temos
(pois ). Substituindo na esfera:
- Logo
- O valor de
na interseção é . - Para descrever
em cilíndricas: -
percorre toda a volta: . -
vai de até a linha de interseção . - Para cada
fixo, varia do cone (inferior) até a esfera (superior), ou seja de até .
Portanto os limites são
-
Passo 4
Montar o integral em coordenadas cilíndricas, lembrando que
e que a função integranda é
. Assim:
Passo 5
Integrar primeiro em
. Calculemos
Avalia:
Portanto o integral triplo reduz-se a
Passo 6
Agora integrar em
. Escrevendo o integrando de forma expandida:
Integrando termo a termo:
Logo
Passo 7
Finalmente integrar em
. Como a integral em
deu
, resta
Portanto