calcule \iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S sendo: f(x, y, z)=x e S é a superfície que y=x^{2}+4 z, 0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} f(x,y,z)\,\mathrm{d}S
onde f(x,y,z)=x e S é a superfície dada pela equação
y = x^{2} + 4z,
com domínio de parâmetros
0 \le x \le 1,\qquad 0 \le z \le 1.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A função escalar a integrar é f(x,y,z)=x.
A superfície S é o gráfico de uma função y=h(x,z) com h(x,z)=x^{2}+4z.
O domínio projetado no plano (x,z) é o retângulo [0,1]\times[0,1].
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de superfície \iint_{S} x\,\mathrm{d}S.
Passo 2
Como a superfície é do tipo “gráfico” y=h(x,z), o caminho mais direto é parametrizá‑la por (x,z). Vou explicar a ideia e a fórmula que usamos: se uma superfície é dada por
y = h(x,z),
uma parametrização natural é
\mathbf{r}(x,z) = \bigl(x,\; h(x,z),\; z\bigr).
Para obter o elemento de área \mathrm{d}S usamos o vetor normal dado pelo produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z e seu módulo:
Isso confirma também a fórmula direta \sqrt{1+(2x)^2+4^2}=\sqrt{17+4x^2}.
Passo 4
Escrevendo a integral de superfície com a parametrização: a função f no parâmetro (x,z) é simplesmente f(x,y,z)=x (pois a primeira coordenada da parametrização é x). Assim
Fazemos a integração em z primeiro. Observe que o integrando x\sqrt{4x^{2}+17} não depende de z, então a integral interna sobre z\in[0,1] só multiplica por 1: