calcule \iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S sendo:
f(x, y, z)=x e S é a superfície que y=x^{2}+4 z, 0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} f(x,y,z)\,\mathrm{d}S
onde f(x,y,z)=x e S é a superfície dada pela equação
y = x^{2} + 4z,
com domínio de parâmetros
0 \le x \le 1,\qquad 0 \le z \le 1.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  1. A função escalar a integrar é f(x,y,z)=x.
  2. A superfície S é o gráfico de uma função y=h(x,z) com h(x,z)=x^{2}+4z.
  3. O domínio projetado no plano (x,z) é o retângulo [0,1]\times[0,1].
    O que se pede: calcular o valor numérico da integral de superfície \iint_{S} x\,\mathrm{d}S.

Passo 2

Como a superfície é do tipo “gráfico” y=h(x,z), o caminho mais direto é parametrizá‑la por (x,z). Vou explicar a ideia e a fórmula que usamos: se uma superfície é dada por
y = h(x,z),
uma parametrização natural é
\mathbf{r}(x,z) = \bigl(x,\; h(x,z),\; z\bigr).
Para obter o elemento de área \mathrm{d}S usamos o vetor normal dado pelo produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z e seu módulo:
\mathrm{d}S = \bigl\lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z \bigr\rVert \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}z.
Alternativamente, existe a fórmula direta para o gráfico:
\mathrm{d}S = \sqrt{1 + \bigl(\partial_x h\bigr)^2 + \bigl(\partial_z h\bigr)^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z,
que é equivalente ao módulo do produto vetorial. Vou usar essa parametrização porque é a maneira mais simples e direta para gráficos.

Passo 3

Parametrização da superfície: como h(x,z)=x^{2}+4z, escolhemos
\mathbf{r}(x,z) = \bigl(x,\; x^{2}+4z,\; z\bigr),\qquad (x,z)\in[0,1]\times[0,1].
Calculemos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_x = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x} = (1,\; 2x,\; 0),
\mathbf{r}_z = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} = (0,\; 4,\; 1).
Agora o produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z (vou mostrar como calcular passo a passo usando a regra do determinante):
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2x & 0 \\\\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \bigl(2x\cdot 1 - 0\cdot 4,\; 0\cdot 0 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 4 - 2x\cdot 0\bigr).
Portanto
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z = (2x,\; -1,\; 4).
O módulo (que é \mathrm{d}S dividido por \mathrm{d}x\,\mathrm{d}z) é
\bigl\lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z\bigr\rVert = \sqrt{(2x)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{4x^{2} + 1 + 16} = \sqrt{4x^{2} + 17}.
Isso confirma também a fórmula direta \sqrt{1+(2x)^2+4^2}=\sqrt{17+4x^2}.

Passo 4

Escrevendo a integral de superfície com a parametrização: a função f no parâmetro (x,z) é simplesmente f(x,y,z)=x (pois a primeira coordenada da parametrização é x). Assim
\iint_{S} f\,\mathrm{d}S = \iint_{[0,1]\times[0,1]} x\; \bigl\lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z\bigr\rVert \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z = \int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{1} x\,\sqrt{4x^{2}+17}\;\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Fazemos a integração em z primeiro. Observe que o integrando x\sqrt{4x^{2}+17} não depende de z, então a integral interna sobre z\in[0,1] só multiplica por 1:
\int_{z=0}^{1} x\sqrt{4x^{2}+17}\,\mathrm{d}z = x\sqrt{4x^{2}+17}\cdot\bigl[z\bigr]_{0}^{1} = x\sqrt{4x^{2}+17}.
Logo a integral fica reduzida a uma integral em x somente:
\iint_{S} f\,\mathrm{d}S = \int_{0}^{1} x\sqrt{4x^{2}+17}\,\mathrm{d}x.

Passo 6

Agora calculamos a integral
\int_{0}^{1} x\sqrt{4x^{2}+17}\,\mathrm{d}x.
Usamos a substituição para eliminar x no diferencial: defina
u = 4x^{2}+17.
Então
\mathrm{d}u = 8x\,\mathrm{d}x \quad\Rightarrow\quad x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{8}\,\mathrm{d}u.
Mudança de limites: quando x=0 temos u=17; quando x=1 temos u=21. Substituindo,
\int_{0}^{1} x\sqrt{4x^{2}+17}\,\mathrm{d}x = \int_{u=17}^{21} \sqrt{u}\cdot\frac{1}{8}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{8}\int_{17}^{21} u^{1/2}\,\mathrm{d}u.

Passo 7

Integramos u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\frac{1}{8}\int_{17}^{21} u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{17}^{21} = \frac{1}{12}\bigl(21^{3/2} - 17^{3/2}\bigr).
Podemos também escrever u^{3/2}=u\sqrt{u}, então uma forma equivalente é
\frac{1}{12}\bigl(21\sqrt{21} - 17\sqrt{17}\bigr).

Resposta

\frac{1}{12}\bigl(21^{3/2} - 17^{3/2}\bigr)

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