Calcule \iint_{\Omega} y d A, sendo \Omega=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1, y \geq 0\right\}. R: \frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{\Omega} y\,dA,
onde a região \Omega é o semicírculo superior de raio 1:
\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x^{2}+y^{2}\le 1,\; y\ge 0\}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é y.
  • A região é o disco de raio 1 cortado pela reta y=0 (ou seja, o semicírculo superior).
    O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral \iint_{\Omega} y\,dA.

Passo 2

Vou trocar para coordenadas polares porque a região é circular — mas antes vamos lembrar o que é essa troca. Em coordenadas polares definimos:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origen e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Ao mudar de (x,y) para (r,\theta) a pequena área elementar dA transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicando por que aparece o fator r: o elemento de área em polares é aproximadamente um retângulo com lados dr e r\,d\theta, portanto a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o Jacobiano da transformação.

Passo 3

Agora precisamos dos limites de r e \theta para descrever \Omega.
  • Como é o disco de raio 1, para cada ângulo \theta temos 0\le r\le 1.
  • Como é o semicírculo superior (ou seja y\ge 0), o ângulo \theta varia de 0 até \pi.
    Portanto os limites são 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le \pi.

Passo 4

Transformando a integral: a função y em polares é y=r\sin\theta, e dA=r\,dr\,d\theta. Logo o integrando y\,dA vira r\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta. A integral fica
\iint_{\Omega} y\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1} r^{2}\sin\theta\;dr\,d\theta.

Passo 5

Integro primeiro em r. A integral interna é
\int_{0}^{1} r^{2}\,dr.
A primitiva de r^{2} é \dfrac{r^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-0 = \frac{1}{3}.

Passo 6

Substituindo o resultado no integral em \theta, obtemos
\iint_{\Omega} y\,dA = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta.
Agora calculo \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta. Uma primitiva de \sin\theta é -\cos\theta, então
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi} = -\cos\pi -\bigl(-\cos 0\bigr) = -(-1) - ( -1) = 2.

Passo 7

Multiplicando os dois resultados:
\iint_{\Omega} y\,dA = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3}.
Como checagem alternativa (sem cálculo extra): o centroide em y do semicírculo de raio 1 é \overline{y}=\dfrac{4}{3\pi} e a área do semicírculo é \dfrac{\pi}{2}. O produto \overline{y}\times área = \dfrac{4}{3\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2}{3}, que coincide com o resultado acima.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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