A região é o disco de raio 1 cortado pela reta y=0 (ou seja, o semicírculo superior).
O que se pede:
Calcular o valor numérico da integral \iint_{\Omega} y\,dA.
Passo 2
Vou trocar para coordenadas polares porque a região é circular — mas antes vamos lembrar o que é essa troca. Em coordenadas polares definimos:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origen e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Ao mudar de (x,y) para (r,\theta) a pequena área elementar dA transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicando por que aparece o fator r: o elemento de área em polares é aproximadamente um retângulo com lados dr e r\,d\theta, portanto a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o Jacobiano da transformação.
Passo 3
Agora precisamos dos limites de r e \theta para descrever \Omega.
Como é o disco de raio 1, para cada ângulo \theta temos 0\le r\le 1.
Como é o semicírculo superior (ou seja y\ge 0), o ângulo \theta varia de 0 até \pi.
Portanto os limites são 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le \pi.
Passo 4
Transformando a integral: a função y em polares é y=r\sin\theta, e dA=r\,dr\,d\theta. Logo o integrando y\,dA vira r\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta. A integral fica
Como checagem alternativa (sem cálculo extra): o centroide em y do semicírculo de raio 1 é \overline{y}=\dfrac{4}{3\pi} e a área do semicírculo é \dfrac{\pi}{2}. O produto \overline{y}\times área = \dfrac{4}{3\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2}{3}, que coincide com o resultado acima.