Calcule \iint_{S}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n} d S, sendo \vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x}-y\right) \vec{i}+\left(x z+y^{2}\right) \vec{j}+2 y z \vec{k} e S é a parte da esfera x^{2}+ y^{2}+z^{2}-4 z=0, \operatorname{com} z \leq 1, orientada com \vec{n} exterior.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral de superfície
\iint_{S} (\operatorname{rot}\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde a campo vetorial é
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(e^{x}-y\bigr)\,\vec{i}+\bigl(xz+y^{2}\bigr)\,\vec{j}+2yz\,\vec{k},
e a superfície S é “a parte da esfera” dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z=0,\quad \text{com } z\leq 1,
orientada com \vec{n} exterior.
Informações extraídas do enunciado:
  • A superfície S é a porção da esfera limitada pela condição z\leq 1.
  • A esfera pode ser completada ao quadrado: x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4. Logo, centro em (0,0,2) e raio 2.
  • O contorno \partial S é a interseção da esfera com o plano z=1; é um círculo (veremos seu raio).
O que se pede: o valor numérico da integral de superfície do rotacional de \vec{F} sobre S com a orientação exterior.

Passo 2

Escolha do método e explicação do conceito usado (aula curta sobre Stokes):
  • Em muitas situações é mais simples usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo com a integral de linha do próprio campo ao longo da fronteira. O teorema afirma:
\iint_{S} (\operatorname{rot}\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \oint_{\partial S} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde \vec{n} é a normal escolhida em S e a orientação de \partial S é a orientação “positiva” dada pela regra da mão direita em relação a \vec{n}.
  • Portanto, em vez de calcular \operatorname{rot}\vec{F} e integrar diretamente sobre a superfície esférica (processo trabalhoso), vamos parametrizar a curva \partial S (o círculo) e calcular a integral de linha \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • Atenção importante sobre orientação: como \vec{n} é a normal exterior da esfera, ela aponta para fora do interior da bola. No “cap” inferior (onde z\le1), o centro da esfera está em z=2 acima, logo a normal exterior tem componente negativa em z (aponta para baixo) ao longo de S. Pela regra da mão direita, isso implica que a orientação positiva de \partial S é o sentido horário quando visto do eixo +z. Vamos usar essa orientação ao parametrizar a curva.

Passo 3

Determinar explicitamente a curva \partial S e sua parametrização:
  • A esfera tem centro (0,0,2) e raio 2. O plano de corte é z=1. A distância do centro ao plano é |2-1|=1. O raio do círculo de interseção é
a=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
  • O círculo \partial S está no plano z=1, centrado em (0,0,1), com raio a=\sqrt{3}.
  • Para obter a orientação horário (vista de cima, isto é, do eixo +z), uma parametrização conveniente é
\vec{r}(t)=\bigl(\sqrt{3}\cos t,\; -\sqrt{3}\sin t,\;1\bigr),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Aqui a escolha de y=-\sqrt{3}\sin t faz com que, ao aumentar t, o movimento seja no sentido horário visto do eixo +z.
  • Derivada:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-\sqrt{3}\sin t,\; -\sqrt{3}\cos t,\;0\bigr).

Passo 4

Expressar \vec{F} sobre a curva e montar \vec{F}\cdot d\vec{r}:
  • Ao longo da curva temos x=\sqrt{3}\cos t, y=-\sqrt{3}\sin t, z=1.
  • Avaliando \vec{F} nessas coordenadas:
\begin{aligned} F_{1} &= e^{x}-y = e^{\sqrt{3}\cos t} -\bigl(-\sqrt{3}\sin t\bigr) = e^{\sqrt{3}\cos t} + \sqrt{3}\sin t,\\[4pt] F_{2} &= xz+y^{2} = \sqrt{3}\cos t + \bigl(-\sqrt{3}\sin t\bigr)^{2} = \sqrt{3}\cos t + 3\sin^{2}t,\\[4pt] F_{3} &= 2yz = 2\bigl(-\sqrt{3}\sin t\bigr)\cdot 1 = -2\sqrt{3}\sin t. \end{aligned}
  • Como d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt e o componente z de \vec{r}\,'(t) é zero, apenas os dois primeiros componentes de \vec{F} participam do produto escalar:
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t) = F_{1}(-\sqrt{3}\sin t)+F_{2}(-\sqrt{3}\cos t).
  • Substituindo F_{1} e F_{2}:
\begin{aligned} \vec{F}\cdot\vec{r}\,'(t) &= \bigl(e^{\sqrt{3}\cos t}+\sqrt{3}\sin t\bigr)(-\sqrt{3}\sin t) +\bigl(\sqrt{3}\cos t+3\sin^{2}t\bigr)(-\sqrt{3}\cos t)\\[4pt] &= -\sqrt{3}\sin t\,e^{\sqrt{3}\cos t} -3\sin^{2}t -3\cos^{2}t -3\sqrt{3}\sin^{2}t\cos t. \end{aligned}
  • Reunindo termos usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 e definindo a=\sqrt{3} para clareza:
\vec{F}\cdot\vec{r}\,'(t)= -a\sin t\,e^{a\cos t} - a^{2} - a^{3}\sin^{2}t\cos t.]

Passo 5

Calcular a integral de linha \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}\vec{F}\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt:
\begin{aligned} I &= \int_{0}^{2\pi}\Bigl(-a\sin t\,e^{a\cos t} - a^{2} - a^{3}\sin^{2}t\cos t\Bigr)\,dt\\[4pt] &= \underbrace{\int_{0}^{2\pi}\bigl(-a\sin t\,e^{a\cos t}\bigr)\,dt}_{I_{1}} \;-\; \underbrace{\int_{0}^{2\pi} a^{2}\,dt}_{I_{2}} \;-\; \underbrace{\int_{0}^{2\pi} a^{3}\sin^{2}t\cos t\,dt}_{I_{3}}. \end{aligned}
Calculemos os três termos separadamente:
  • Para I_{1}: note que \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{a\cos t}\bigr) = -a\sin t\,e^{a\cos t}. Logo
I_{1}=\int_{0}^{2\pi}\frac{d}{dt}\bigl(e^{a\cos t}\bigr)\,dt = e^{a\cos t}\Big|_{0}^{2\pi}=e^{a}-e^{a}=0.
  • Para I_{2}:
I_{2}=a^{2}\int_{0}^{2\pi}dt = a^{2}\cdot(2\pi)=2\pi a^{2}.
  • Para I_{3}: faça a substituição u=\sin t, então du=\cos t\,dt. Como \sin(0)=0 e \sin(2\pi)=0, a integral sobre um período é
I_{3}=a^{3}\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos t\,dt = a^{3}\int_{u=0}^{u=0} u^{2}\,du = 0.
  • Portanto
I = 0 - 2\pi a^{2} - 0 = -2\pi a^{2}.
  • Substituindo a^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3 obtém-se
I = -2\pi\cdot 3 = -6\pi.]

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes, concluímos que a integral de superfície do rotacional de \vec{F} sobre S (com a normal exterior) é igual à integral de linha calculada. Logo
\iint_{S} (\operatorname{rot}\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS \;=\; -6\pi.

Resposta

-6\pi

Exercícios relacionados