Calcule \iint_{S}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n} d S, sendo \vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x}-y\right) \vec{i}+\left(x z+y^{2}\right) \vec{j}+2 y z \vec{k} e S é a parte da esfera x^{2}+ y^{2}+z^{2}-4 z=0, \operatorname{com} z \leq 1, orientada com \vec{n} exterior.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral de superfície
orientada com \vec{n} exterior.
Informações extraídas do enunciado:
A superfície S é a porção da esfera limitada pela condição z\leq 1.
A esfera pode ser completada ao quadrado: x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4. Logo, centro em (0,0,2) e raio 2.
O contorno \partial S é a interseção da esfera com o plano z=1; é um círculo (veremos seu raio).
O que se pede: o valor numérico da integral de superfície do rotacional de \vec{F} sobre S com a orientação exterior.
Passo 2
Escolha do método e explicação do conceito usado (aula curta sobre Stokes):
Em muitas situações é mais simples usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo com a integral de linha do próprio campo ao longo da fronteira. O teorema afirma:
onde \vec{n} é a normal escolhida em S e a orientação de \partial S é a orientação “positiva” dada pela regra da mão direita em relação a \vec{n}.
Portanto, em vez de calcular \operatorname{rot}\vec{F} e integrar diretamente sobre a superfície esférica (processo trabalhoso), vamos parametrizar a curva \partial S (o círculo) e calcular a integral de linha \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Atenção importante sobre orientação: como \vec{n} é a normal exterior da esfera, ela aponta para fora do interior da bola. No “cap” inferior (onde z\le1), o centro da esfera está em z=2 acima, logo a normal exterior tem componente negativa em z (aponta para baixo) ao longo de S. Pela regra da mão direita, isso implica que a orientação positiva de \partial S é o sentido horário quando visto do eixo +z. Vamos usar essa orientação ao parametrizar a curva.
Passo 3
Determinar explicitamente a curva \partial S e sua parametrização:
A esfera tem centro (0,0,2) e raio 2. O plano de corte é z=1. A distância do centro ao plano é |2-1|=1. O raio do círculo de interseção é
a=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
O círculo \partial S está no plano z=1, centrado em (0,0,1), com raio a=\sqrt{3}.
Para obter a orientação horário (vista de cima, isto é, do eixo +z), uma parametrização conveniente é
Como d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt e o componente z de \vec{r}\,'(t) é zero, apenas os dois primeiros componentes de \vec{F} participam do produto escalar:
Aplicando o Teorema de Stokes, concluímos que a integral de superfície do rotacional de \vec{F} sobre S (com a normal exterior) é igual à integral de linha calculada. Logo