Calcule
, onde
é a metade superior do círculo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a metade superior do círculo
.
Informações dadas e pedido claro:
Informações dadas e pedido claro:
- A curva
é a semicircunferência superior de raio centrada na origem. - Queremos integrar a função escalar
em relação ao comprimento de arco ao longo de . - Não há orientação relevante porque a integral usa
(sempre positiva).
Passo 2
Estratégia: parametrizar a semicircunferência por um parâmetro angular
. Esta é a forma mais direta porque o círculo tem equação estável em coordenadas polares. Ao parametrizar
obtemos
e então transformamos a integral em uma integral em
.
Passo 3
Parametrização da semicircunferência superior: usar o ângulo
variando de
a
:
Calcule as derivadas e o elemento de arco:
Passo 4
Substituir na integranda. Primeiro calcule
em termos de
:
Assim a função dentro da integral fica
Multiplicando por
obtemos a integral em
:
Passo 5
Calcular a integral separando termos:
A primeira parte é simples:
Para a segunda parte use substituição
. Então
, logo
. As mesmas limites em
são
e
. Assim
Calcule o valor:
Portanto
Passo 6
Somando as duas partes:
Opcionalmente juntar em uma única fração: