Calcule \int_{C}\left(10+x^{2} y\right) d s, onde C é a metade superior do círculo x^{2}+y^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(10+x^{2}y\right)\,d s,
onde C é a metade superior do círculo \;x^{2}+y^{2}=25.
Informações dadas e pedido claro:
  • A curva C é a semicircunferência superior de raio 5 centrada na origem.
  • Queremos integrar a função escalar f(x,y)=10+x^{2}y em relação ao comprimento de arco d s ao longo de C.
  • Não há orientação relevante porque a integral usa d s (sempre positiva).

Passo 2

Estratégia: parametrizar a semicircunferência por um parâmetro angular t. Esta é a forma mais direta porque o círculo tem equação estável em coordenadas polares. Ao parametrizar (x(t),y(t)) obtemos d s=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt e então transformamos a integral em uma integral em t.

Passo 3

Parametrização da semicircunferência superior: usar o ângulo t variando de 0 a \pi:
x(t)=5\cos t,\qquad y(t)=5\sin t,\qquad 0\le t\le\pi.
Calcule as derivadas e o elemento de arco:
x'(t)=-5\sin t,\qquad y'(t)=5\cos t,
d s=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt =\sqrt{25\sin^{2}t+25\cos^{2}t}\,dt =\sqrt{25}\,dt=5\,dt.

Passo 4

Substituir na integranda. Primeiro calcule x^{2}y em termos de t:
x^{2}y=(5\cos t)^{2}\cdot(5\sin t)=25\cos^{2}t\cdot 5\sin t=125\cos^{2}t\sin t.
Assim a função dentro da integral fica
10+x^{2}y=10+125\cos^{2}t\sin t.
Multiplicando por d s=5\,dt obtemos a integral em t:
\int_{C}\left(10+x^{2}y\right)\,d s =\int_{0}^{\pi}\bigl(10+125\cos^{2}t\sin t\bigr)\cdot 5\,dt =\int_{0}^{\pi}\bigl(50+625\cos^{2}t\sin t\bigr)\,dt.

Passo 5

Calcular a integral separando termos:
\int_{0}^{\pi}\bigl(50+625\cos^{2}t\sin t\bigr)\,dt =50\int_{0}^{\pi}dt+625\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt.
A primeira parte é simples:
50\int_{0}^{\pi}dt=50\pi.
Para a segunda parte use substituição u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, logo \sin t\,dt=-du. As mesmas limites em u são u(0)=\cos 0=1 e u(\pi)=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt =\int_{t=0}^{t=\pi}\!u^{2}\cdot\sin t\,dt =\int_{u=1}^{u=-1}\!u^{2}(-du) =-\int_{1}^{-1}u^{2}\,du =-\Bigl[\frac{u^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{-1}.
Calcule o valor:
-\Bigl(\frac{(-1)^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}\Bigr) =-\Bigl(\frac{-1}{3}-\frac{1}{3}\Bigr) =-\Bigl(\frac{-2}{3}\Bigr)=\frac{2}{3}.
Portanto
625\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt=625\cdot\frac{2}{3}=\frac{1250}{3}.

Passo 6

Somando as duas partes:
\int_{C}\left(10+x^{2}y\right)\,d s =50\pi+\frac{1250}{3}.
Opcionalmente juntar em uma única fração:
50\pi+\frac{1250}{3}=\frac{150\pi+1250}{3}.

Resposta

\displaystyle 50\pi+\frac{1250}{3}

Exercícios relacionados