Calcule \int_{S} \vec{F} d \vec{S} para \vec{F} e S dadas e com S tendo a orientação indicada. Para superfícies fechadas use a orientação positiva:
\vec{F}(x, y, z)=y \vec{j}-z \vec{k} e S sendo formada pelo paraboloide y=x^{2}+z^{2}, 0 \leq y \leq 1 e pelo disco x^{2}+z^{2} \leq 1, y=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial \vec{F} através da superfície fechada S. As informações são:
\vec{F}(x,y,z)=y\,\vec{j}-z\,\vec{k}.
A superfície S é a superfície fechada formada por duas partes:
  • o paraboloide \;y = x^{2}+z^{2} com 0\le y\le 1;
  • o disco superior \;x^{2}+z^{2}\le 1,\; y=1.
    A orientação é a orientação positiva para superfícies fechadas (isto é, normal apontando para fora do volume).
    O que devemos calcular é \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} (o fluxo total de \vec{F} através de S).

Passo 2

Escolha do método: como S é uma superfície fechada e \vec{F} é suave no domínio, a maneira mais direta é usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Vou explicar o teorema e por que ele é conveniente.
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave e um volume V limitado por uma superfície fechada \partial V com orientação externa, vale:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV.
Aqui \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}, que é a soma das derivadas parciais das componentes: se \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) então
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Esta fórmula transforma a integral de superfície em uma integral de volume — muitas vezes mais simples de avaliar. No nosso caso a região V é o sólido limitado pelo paraboloide \;y=x^{2}+z^{2} por baixo e pelo disco y=1 por cima.

Passo 3

Calculemos a divergência de \vec{F}. Escrevendo as componentes:
\vec{F}=(0,\;y,\;-z).
Logo
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(-z)=0+1-1=0.
Portanto a divergência é identicamente zero em todo o volume.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência: como \nabla\cdot\vec{F}=0,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}0\,dV=0.
Assim, pelo teorema, o fluxo total através da superfície fechada S é 0.
Vou fazer uma verificação direta (útil didaticamente) calculando separadamente o fluxo através do disco superior e do paraboloide, mostrando que se cancelam.

Passo 5

Fluxo através do disco superior ( y=1,\;x^{2}+z^{2}\le 1).
No disco, o vetor normal externo (para fora do volume) é \vec{n}=\vec{j} (para cima), porque o volume está abaixo do disco. Assim d\vec{S}=\vec{j}\,dS. Em y=1,
\vec{F}=(0,\,1,\,-z).
Logo o produto escalar é
\vec{F}\cdot d\vec{S}=(0,1,-z)\cdot(0,1,0)\,dS=1\cdot dS.
Portanto o fluxo pelo disco é a área do disco de raio 1:
\iint_{\text{disco}}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{x^{2}+z^{2}\le 1}1\,dS=\text{área do disco}=\pi\cdot 1^{2}=\pi.á

Passo 6

Fluxo através do paraboloide \;y=x^{2}+z^{2},\;0\le y\le 1 (verificação direta).
Parametrizamos o paraboloide usando coordenadas polares no plano x\!-\!z (note que y é a “altura”):
x=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad y=r^{2},
com 0\le r\le 1,\;0\le\theta\le 2\pi (pegamos r^{2}=x^{2}+z^{2}). Definimos a parametrização
\vec{r}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r^{2},\;r\sin\theta\big).
Calculamos os vetores parciais:
\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}=(\cos\theta,\;2r,\;\sin\theta),\qquad \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}=(-r\sin\theta,\;0,\;r\cos\theta).
O vetor de área orientado é o produto vetorial
\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} =(2r^{2}\cos\theta,\;-r,\;2r^{2}\sin\theta).
(Esse vetor tem componente negativa em y, o que indica que aponta para baixo — isso é coerente com a orientação externa: o normal da parede lateral do sólido aponta para fora, ou seja, tem componente negativa em y.)
Aplique \vec{F} sobre a parametrização: em pontos do paraboloide temos y=r^{2} e z=r\sin\theta, então
\vec{F}=(0,\;r^{2},\;-r\sin\theta).
O produto escalar com o vetor de área é
\vec{F}\cdot\Big(\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}\Big) =0\cdot(2r^{2}\cos\theta)+r^{2}\cdot(-r)+(-r\sin\theta)\cdot(2r^{2}\sin\theta).
Simplificando,
\vec{F}\cdot(\cdots)=-r^{3}-2r^{3}\sin^{2}\theta=-r^{3}\big(1+2\sin^{2}\theta\big).
Integramos sobre r e \theta:
\iint_{\text{paraboloide}}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\big[-r^{3}\big(1+2\sin^{2}\theta\big)\big]dr\,d\theta.
Calcule a integral angular:
\int_{0}^{2\pi}\big(1+2\sin^{2}\theta\big)d\theta = \int_{0}^{2\pi}1\,d\theta + 2\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =2\pi + 2\cdot\pi =4\pi,
pois \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi. Então
\iint_{\text{paraboloide}}\vec{F}\cdot d\vec{S} = -\int_{0}^{1} r^{3}\, (4\pi)\, dr = -4\pi\cdot\frac{1}{4} = -\pi.
Portanto o fluxo pelo paraboloide é -\pi.

Passo 7

Somando as duas contribuições (disco superior e paraboloide) temos:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{\text{disco}}\vec{F}\cdot d\vec{S}+\iint_{\text{paraboloide}}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\pi+(-\pi)=0.
Isso confirma o resultado obtido pelo Teorema da Divergência.

Resposta

0

Exercícios relacionados