Calcule
d
para
e
dadas e com
tendo a orientação indicada. Para superfícies fechadas use a orientação positiva:
e
sendo formada pelo paraboloide
e pelo disco
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo da campo vetorial
através da superfície fechada
. As informações são:
.
A superfície é a superfície fechada formada por duas partes:
A superfície
- o paraboloide
com ; - o disco superior
.
A orientação é a orientação positiva para superfícies fechadas (isto é, normal apontando para fora do volume).
O que devemos calcular é(o fluxo total de através de ).
Passo 2
Escolha do método: como
é uma superfície fechada e
é suave no domínio, a maneira mais direta é usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Vou explicar o teorema e por que ele é conveniente.
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial
suficientemente suave e um volume
limitado por uma superfície fechada
com orientação externa, vale:
Aqui
é a divergência de
, que é a soma das derivadas parciais das componentes: se
então
Esta fórmula transforma a integral de superfície em uma integral de volume — muitas vezes mais simples de avaliar. No nosso caso a região
é o sólido limitado pelo paraboloide
por baixo e pelo disco
por cima.
Passo 3
Calculemos a divergência de
. Escrevendo as componentes:
Logo
Portanto a divergência é identicamente zero em todo o volume.
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência: como
,
Assim, pelo teorema, o fluxo total através da superfície fechada
é
.
Vou fazer uma verificação direta (útil didaticamente) calculando separadamente o fluxo através do disco superior e do paraboloide, mostrando que se cancelam.
Passo 5
Fluxo através do disco superior (
).
No disco, o vetor normal externo (para fora do volume) é (para cima), porque o volume está abaixo do disco. Assim
. Em
,
No disco, o vetor normal externo (para fora do volume) é
Logo o produto escalar é
Portanto o fluxo pelo disco é a área do disco de raio
:
Passo 6
Fluxo através do paraboloide
(verificação direta).
Parametrizamos o paraboloide usando coordenadas polares no plano (note que
é a “altura”):
Parametrizamos o paraboloide usando coordenadas polares no plano
com
(pegamos
). Definimos a parametrização
Calculamos os vetores parciais:
O vetor de área orientado é o produto vetorial
(Esse vetor tem componente negativa em
, o que indica que aponta para baixo — isso é coerente com a orientação externa: o normal da parede lateral do sólido aponta para fora, ou seja, tem componente negativa em
.)
Aplique
sobre a parametrização: em pontos do paraboloide temos
e
, então
O produto escalar com o vetor de área é
Simplificando,
Integramos sobre
e
:
Calcule a integral angular:
pois
. Então
Portanto o fluxo pelo paraboloide é
.
Passo 7
Somando as duas contribuições (disco superior e paraboloide) temos:
Isso confirma o resultado obtido pelo Teorema da Divergência.
Resposta
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