Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\int \frac{\operatorname{sen}(t)}{1+\cos ^{2}(t)} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sen}(t)}{1+\cos^{2}(t)}\,dt.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{1+\cos^{2}(t)}.
  • Quer-se a primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função cujo derivada é a integranda, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação estratégica (por que escolher uma substituição): o denominador depende de \cos(t) através de \cos^{2}(t) e o numerador tem \operatorname{sen}(t)\,dt. Lembrando que a derivada de \cos(t) é -\operatorname{sen}(t), isso sugere a substituição
u=\cos(t),
porque então a diferencial du ficará relacionada a \operatorname{sen}(t)\,dt.

Passo 3

Calcular du a partir da substituição:
u=\cos(t)\quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dt}=-\operatorname{sen}(t).
Isolando o diferencial,
\operatorname{sen}(t)\,dt = -\,du.

Passo 4

Fazer a troca na integral usando u e du. A integral original
\int \frac{\operatorname{sen}(t)}{1+\cos^{2}(t)}\,dt
fica, após substituir \cos(t)=u e \operatorname{sen}(t)\,dt=-du,
\int \frac{\operatorname{sen}(t)}{1+\cos^{2}(t)}\,dt = \int \frac{-\,du}{1+u^{2}} = -\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 5

Recordar a primitiva básica: a função cuja derivada é \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan(u). Mais precisamente,
\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Portanto
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du = \arctan(u)+C.

Passo 6

Aplicar o resultado ao integral que ficou com sinal negativo:
- \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du = -\arctan(u) + C.
Voltar à variável original substituindo u=\cos(t):
-\arctan(u)+C = -\arctan\bigl(\cos(t)\bigr) + C.

Passo 7

Verificação rápida (derivação para conferir): derivando a primitiva encontrada deve-se obter a integranda. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\Bigl(-\arctan(\cos t)\Bigr) = -\frac{1}{1+\cos^{2}t}\cdot\frac{d}{dt}(\cos t) = -\frac{1}{1+\cos^{2}t}\cdot(-\operatorname{sen} t) =\frac{\operatorname{sen} t}{1+\cos^{2}t},
que coincide com a integranda. Logo a primitiva está correta.

Passo 8

Resumo final e incentivo: a técnica fundamental aqui foi a substituição u=\cos t porque o numerador é proporcional à derivada de \cos t. Isso é uma dica sempre útil em provas: quando o numerador é a derivada (ou múltiplo) de algo que aparece no denominador, a substituição simples costuma resolver. Força aí — dá pra fazer essas rápido na prova!

Resposta

-\arctan(\cos t)+C

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