Calcule as integrais indefinidas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Quer-se a primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função cujo derivada é a integranda, mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação estratégica (por que escolher uma substituição): o denominador depende de
através de
e o numerador tem
. Lembrando que a derivada de
é
, isso sugere a substituição
porque então a diferencial
ficará relacionada a
.
Passo 3
Calcular
a partir da substituição:
Isolando o diferencial,
Passo 4
Fazer a troca na integral usando
e
. A integral original
fica, após substituir
e
,
Passo 5
Recordar a primitiva básica: a função cuja derivada é
é
. Mais precisamente,
Portanto
Passo 6
Aplicar o resultado ao integral que ficou com sinal negativo:
Voltar à variável original substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (derivação para conferir): derivando a primitiva encontrada deve-se obter a integranda. Usando a regra da cadeia,
que coincide com a integranda. Logo a primitiva está correta.
Passo 8
Resumo final e incentivo: a técnica fundamental aqui foi a substituição
porque o numerador é proporcional à derivada de
. Isso é uma dica sempre útil em provas: quando o numerador é a derivada (ou múltiplo) de algo que aparece no denominador, a substituição simples costuma resolver. Força aí — dá pra fazer essas rápido na prova!