Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\int\left(\frac{1}{t}+e^{t}\right) d t, t>0

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas. O problema pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{t}+e^{t}\right)\,dt,
com a informação adicional de que t>0. As perguntas implícitas são: encontrar uma primitiva (antiderivada) para cada termo e, portanto, uma primitiva para a soma.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar: linearidade da integral. Para funções f e g com primitivas, vale
\int\bigl(f(t)+g(t)\bigr)\,dt=\int f(t)\,dt+\int g(t)\,dt.
Isto significa que posso tratar \dfrac{1}{t} e e^{t} separadamente, achar primitivas individuais e depois somá-las.

Passo 3

Primitiva de \dfrac{1}{t} para t>0. Recorde: a derivada de \ln t é
\frac{d}{dt}\bigl(\ln t\bigr)=\frac{1}{t}\quad\text{para }t>0.
Logo uma primitiva de \dfrac{1}{t} (no domínio t>0) é \ln t. Observação sobre o sinal: em geral usa-se \ln|t| para cobrir t<0 também, mas como o enunciado diz t>0 podemos escrever simplesmente \ln t.

Passo 4

Primitiva de e^{t}. Sabemos que a derivada de e^{t} é ela mesma:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}.
Portanto uma primitiva de e^{t} é e^{t}.

Passo 5

Combinação das primitivas e constante de integração. Pela linearidade (Passo 2), uma primitiva para a soma é a soma das primitivas parciais encontradas (mais uma constante arbitrária). Assim, a primitiva geral da função dada é a soma das primitivas obtidas nos Passos 3 e 4, acrescida de uma constante de integração C.

Passo 6

Verificação rápida (checagem por diferenciação). Diferenciando separadamente as primitivas parciais:
\frac{d}{dt}\bigl(\ln t\bigr)=\frac{1}{t}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}.
Somando essas derivadas obtém-se exatamente o integrando \dfrac{1}{t}+e^{t}, portanto a primitiva combinada está correta (até uma constante).

Resposta

\ln t + e^{t} + C

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