Calcule as integrais indefinidas a seguir.
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas. O problema pede para calcular a integral indefinida
com a informação adicional de que
. As perguntas implícitas são: encontrar uma primitiva (antiderivada) para cada termo e, portanto, uma primitiva para a soma.
Passo 2
Propriedade fundamental que vamos usar: linearidade da integral. Para funções
e
com primitivas, vale
Isto significa que posso tratar
e
separadamente, achar primitivas individuais e depois somá-las.
Passo 3
Primitiva de
para
. Recorde: a derivada de
é
Logo uma primitiva de
(no domínio
) é
. Observação sobre o sinal: em geral usa-se
para cobrir
também, mas como o enunciado diz
podemos escrever simplesmente
.
Passo 4
Primitiva de
. Sabemos que a derivada de
é ela mesma:
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 5
Combinação das primitivas e constante de integração. Pela linearidade (Passo 2), uma primitiva para a soma é a soma das primitivas parciais encontradas (mais uma constante arbitrária). Assim, a primitiva geral da função dada é a soma das primitivas obtidas nos Passos 3 e 4, acrescida de uma constante de integração
.
Passo 6
Verificação rápida (checagem por diferenciação). Diferenciando separadamente as primitivas parciais:
Somando essas derivadas obtém-se exatamente o integrando
, portanto a primitiva combinada está correta (até uma constante).