Calcule as integrais:
\int \frac{8}{x^{2}\left(x^{2}+4\right)} \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{8}{x^{2}\left(x^{2}+4\right)}\,\mathrm{d}x.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é uma função racional: numerador constante 8 e denominador x^{2}(x^{2}+4).
  • O denominador tem uma raiz dupla em x=0 (fator x^{2}) e um fator quadrático irreduzível x^{2}+4.
    Nada mais foi dado nem há limites de integração (é integral indefinida).

Passo 2

Escolha do método: para integrar uma função racional com fatores lineares repetidos e fatores quadráticos irreduzíveis a maneira mais direta e prática é a decomposição em frações parciais. Vou explicar a ideia: escrevemos a integranda como soma de termos mais simples cuja integral é conhecida. Para o caso de um fator x^{2} usamos termos do tipo \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Para o fator quadrático x^{2}+4 usamos um termo da forma \dfrac{Cx+D}{x^{2}+4}. Assim proponho a decomposição
\frac{8}{x^{2}\left(x^{2}+4\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Determinar A,B,C,D. Multiplico ambos os lados por x^{2}(x^{2}+4) para eliminar denominadores:
8 = A x(x^{2}+4) + B(x^{2}+4) + (Cx+D)x^{2}.
Faço a expansão:
8 = A x^{3} + 4A x + B x^{2} + 4B + C x^{3} + D x^{2}.
Agrupando coeficientes por potências de x:
8 = (A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + (4A)x + 4B.
Agora igualo coeficientes dos dois lados (o lado esquerdo é 8, ou seja, coeficiente de x^{3},x^{2},x são zero e o termo constante é 8):
  • Coeficiente de x^{3}: A+C=0.
  • Coeficiente de x^{2}: B+D=0.
  • Coeficiente de x: 4A=0 A=0.
  • Termo constante: 4B=8 B=2.
Com A=0 vem C=-A=0. Com B=2 vem D=-B=-2.
Portanto a decomposição fica (substituindo):
\frac{8}{x^{2}\left(x^{2}+4\right)}=\frac{0}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{0\cdot x-2}{x^{2}+4}=\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}+4}.

Passo 4

Integro termo a termo. Primeiro relembrando duas fórmulas básicas (com explicação curta):
  • Para potência negativa: \displaystyle \int x^{n}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Aqui, com n=-2: \displaystyle \int x^{-2}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}+C.
  • Para termo quadrático positivo: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C. Neste problema a^{2}=4\Rightarrow a=2, logo \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+4}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
Aplicando essas fórmulas aos termos:
\int \frac{2}{x^{2}}\,\mathrm{d}x = 2\int x^{-2}\,\mathrm{d}x = 2\left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{2}{x}.
\int \biggl(-\frac{2}{x^{2}+4}\biggr)\,\mathrm{d}x = -2\int \frac{1}{x^{2}+4}\,\mathrm{d}x = -2\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) = -\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Somando as parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva completa.

Passo 5

Resultado final da integração (soma das partes):
\int \frac{8}{x^{2}\left(x^{2}+4\right)}\,\mathrm{d}x = -\frac{2}{x} - \arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-\dfrac{2}{x}-\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C

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