Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é uma função racional: numerador constante
e denominador . - O denominador tem uma raiz dupla em
(fator ) e um fator quadrático irreduzível .
Nada mais foi dado nem há limites de integração (é integral indefinida).
Passo 2
Escolha do método: para integrar uma função racional com fatores lineares repetidos e fatores quadráticos irreduzíveis a maneira mais direta e prática é a decomposição em frações parciais. Vou explicar a ideia: escrevemos a integranda como soma de termos mais simples cuja integral é conhecida. Para o caso de um fator
usamos termos do tipo
. Para o fator quadrático
usamos um termo da forma
. Assim proponho a decomposição
onde
são constantes a determinar.
Passo 3
Determinar
. Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Faço a expansão:
Agrupando coeficientes por potências de
:
Agora igualo coeficientes dos dois lados (o lado esquerdo é
, ou seja, coeficiente de
são zero e o termo constante é
):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: ⇒ . - Termo constante:
⇒ .
Com
vem
. Com
vem
.
Portanto a decomposição fica (substituindo):
Passo 4
Integro termo a termo. Primeiro relembrando duas fórmulas básicas (com explicação curta):
- Para potência negativa:
para . Aqui, com : . - Para termo quadrático positivo:
. Neste problema , logo .
Aplicando essas fórmulas aos termos:
Somando as parcelas e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva completa.
Passo 5
Resultado final da integração (soma das partes):
onde
é a constante de integração.