Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Deve-se obter um valor exato (em termos de funções trigonométricas).
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração que permite transformar uma integral de um produto em outras integrais mais simples. A fórmula dessa técnica é a seguinte (regra fundamental):
Aqui:
-
é uma função que escolhemos de forma que sua derivada seja mais simples; -
é o resto do integrando, que devemos saber como integrar para obter .
Escolha prática para este tipo de integral: tomar
(pois sua derivada é simples) e
(pois sabemos integrar
). Explicitando:
Passo 3
Calculamos
, uma primitiva de
. Sabendo que
, uma primitiva é
Aplicando a fórmula da integração por partes na integral definida:
Avaliaremos o termo de fronteira primeiro:
Portanto
Passo 4
Agora calculamos a integral
. Uma primitiva de
é
, porque
. Assim:
Portanto
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão obtida em
Passo 6
Simplificando os fatores:
Colocando sobre o mesmo denominador
: