Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} x \cdot \cos (5 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x \cdot \cos(5x)\,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • O integrando é x\cos(5x).
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • Deve-se obter um valor exato (em termos de funções trigonométricas).

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração que permite transformar uma integral de um produto em outras integrais mais simples. A fórmula dessa técnica é a seguinte (regra fundamental):
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos de forma que sua derivada seja mais simples;
  • \mathrm{d}v é o resto do integrando, que devemos saber como integrar para obter v.
Escolha prática para este tipo de integral: tomar u=x (pois sua derivada é simples) e \mathrm{d}v=\cos(5x)\,\mathrm{d}x (pois sabemos integrar \cos(5x)). Explicitando:
u = x,\qquad \mathrm{d}u = \mathrm{d}x,
\mathrm{d}v = \cos(5x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculamos v, uma primitiva de \cos(5x). Sabendo que \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\sin(5x)\big)=5\cos(5x), uma primitiva é
v = \frac{1}{5}\sin(5x).
Aplicando a fórmula da integração por partes na integral definida:
\int_{0}^{1} x\cos(5x)\,\mathrm{d}x = \left[ x\cdot\frac{1}{5}\sin(5x)\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5}\sin(5x)\,\mathrm{d}x.
Avaliaremos o termo de fronteira primeiro:
\left[ x\cdot\frac{1}{5}\sin(5x)\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}\cdot 1\cdot\sin(5) - \frac{1}{5}\cdot 0\cdot\sin(0) = \frac{1}{5}\sin(5).
Portanto
\int_{0}^{1} x\cos(5x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{5}\sin(5) - \frac{1}{5}\int_{0}^{1} \sin(5x)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Agora calculamos a integral \int_{0}^{1}\sin(5x)\,\mathrm{d}x. Uma primitiva de \sin(5x) é -\dfrac{1}{5}\cos(5x), porque \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(-\dfrac{1}{5}\cos(5x)\big)=\sin(5x). Assim:
\int_{0}^{1} \sin(5x)\,\mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{5}\cos(5x)\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{5}\cos(5) -\Big(-\frac{1}{5}\cos(0)\Big) = -\frac{1}{5}\cos(5) + \frac{1}{5}\cdot 1.
Portanto
\int_{0}^{1} \sin(5x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{5}\big(1-\cos(5)\big).

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão obtida em

Passo 6

\int_{0}^{1} x\cos(5x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{5}\sin(5) - \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\big(1-\cos(5)\big).
Simplificando os fatores:
\int_{0}^{1} x\cos(5x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{5}\sin(5) - \frac{1}{25}\big(1-\cos(5)\big).
Colocando sobre o mesmo denominador \,25:
\int_{0}^{1} x\cos(5x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{25}\big(5\sin(5) - (1-\cos(5))\big) = \frac{1}{25}\big(5\sin(5) + \cos(5) - 1\big).

Resposta

\dfrac{1}{25}\big(5\sin(5)+\cos(5)-1\big)

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