Calcule a integral definida utilizando a integração por frações parciais:
\int_{1}^{2} \frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{2}-3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2}\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{2}-3x}\,dx.
Trata-se de uma função racional imprópria (grau do numerador maior que o do denominador). Para resolver, usamos divisão de polinômios para separar a parte polinomial e depois aplicamos frações parciais na parte própria.

Passo 2

Fazemos a divisão de
\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{2}-3x}
por x^{2}-3x. O quociente é x+1 e o resto é 3x+1, portanto
\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{2}-3x} = x+1 \;+\; \frac{3x+1}{x(x-3)}.

Passo 3

Decompondo
\frac{3x+1}{x(x-3)}
como
\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3},
temos
3x+1 = A(x-3)+Bx = (A+B)x - 3A.
Igualando coeficientes:
A+B=3, \quad -3A=1 \quad\Longrightarrow\quad A=-\tfrac{1}{3}, \;B=3-(-\tfrac{1}{3})=\tfrac{10}{3}.
Logo
\frac{3x+1}{x(x-3)} = -\frac{1}{3}\,\frac{1}{x} + \frac{10}{3}\,\frac{1}{x-3}.

Passo 4

A integral vira
\int_{1}^{2}(x+1)\,dx \;+\; \int_{1}^{2}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\,\tfrac{1}{x} +\tfrac{10}{3}\,\tfrac{1}{x-3}\Bigr)\,dx.
Sabemos que
\int(x+1)\,dx = \frac{x^2}{2}+x, \quad \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|, \quad \int\frac{1}{x-3}\,dx=\ln|x-3|.

Passo 5

Avaliaremos de 1 a 2:
\Bigl[\tfrac{x^2}{2}+x\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(2+2\bigr)-\bigl(\tfrac12+1\bigr) =4-\tfrac32 =\tfrac52,
-\tfrac{1}{3}\bigl[\ln|x|\bigr]_{1}^{2} = -\tfrac{1}{3}\ln2,
\tfrac{10}{3}\bigl[\ln|x-3|\bigr]_{1}^{2} = \tfrac{10}{3}\bigl(\ln|{-1}|-\ln|{-2}|\bigr) = \tfrac{10}{3}(0-\ln2) = -\tfrac{10}{3}\ln2.
Somando tudo:
\int_{1}^{2}\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{2}-3x}\,dx = \tfrac52 -\tfrac{1}{3}\ln2 -\tfrac{10}{3}\ln2 = \tfrac52 - \tfrac{11}{3}\ln2.

Resposta

\frac{5}{2} \;-\; \frac{11}{3}\ln2.

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