Calcule a integral definida utilizando a integração por frações parciais:
\int_{4}^{5} \frac{1}{9-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int_{4}^{5} \frac{1}{9 - x^{2}} \, dx
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo envolvido é fatoração de 9 - x^{2} e integração de funções racionais básicas que resultam em logaritmos.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e escrevemos
\frac{1}{9 - x^{2}} = \frac{1}{(3 - x)(3 + x)} = \frac{A}{3 - x} + \frac{B}{3 + x}.
Multiplicando por (3 - x)(3 + x) temos
1 = A(3 + x) + B(3 - x).
Tomando x = 3 1 = 6A A = \tfrac{1}{6}.
Tomando x = -3 1 = 6B B = \tfrac{1}{6}.
Logo
\frac{1}{9 - x^{2}} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{3 - x} + \frac{1}{3 + x}\Bigr).

Passo 3

Agora integramos term a term:
\int \frac{dx}{9 - x^{2}} = \frac{1}{6}\int\Bigl(\frac{1}{3 - x} + \frac{1}{3 + x}\Bigr)dx.
Note que
\displaystyle \int \frac{dx}{3 - x} = -\ln\bigl|3 - x\bigr|
e
\displaystyle \int \frac{dx}{3 + x} = \ln\bigl|3 + x\bigr|.
Portanto, uma primitiva é
F(x) = \frac{1}{6}\Bigl(-\ln|3 - x| + \ln|3 + x|\Bigr) = \frac{1}{6}\ln\!\Bigl|\frac{3 + x}{3 - x}\Bigr| + C.

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental:
I = F(5) - F(4) = \frac{1}{6}\Bigl[\ln\bigl|\tfrac{3+5}{3-5}\bigr| - \ln\bigl|\tfrac{3+4}{3-4}\bigr|\Bigr].
Para x=5 temos \frac{3+5}{3-5} = -4 e para x=4 \frac{3+4}{3-4} = -7. Tirando valor absoluto:
I = \frac{1}{6}\bigl(\ln 4 - \ln 7\bigr) = \frac{1}{6}\ln\!\frac{4}{7}.

Resposta

\boxed{\;I = \frac{1}{6}\ln\!\frac{4}{7}\;}.

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