Calcule a integral definida utilizando a integração por frações parciais:
\int_{1}^{5} \frac{x-1}{x^{2}(x+1)} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{5} \frac{x-1}{x^{2}(x+1)}\,dx
usando o método de frações parciais. Vamos decompor a fração racional em termos mais simples e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
\frac{x-1}{x^{2}(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x+1), obtemos
x - 1 = A\,x(x+1) + B\,(x+1) + C\,x^{2}.
Expandindo, fica
x - 1 = (A+C)\,x^{2} + (A+B)\,x + B.

Passo 3

Igualamos coeficientes em ambos os lados:
coeficiente de x^{2}: A + C = 0,
coeficiente de x: A + B = 1,
termo constante: B = -1.
Logo B=-1, A = 1 - B = 2 e C = -A = -2.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int_{1}^{5}\Bigl(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x+1}\Bigr)\,dx.
Uma primitiva comum é
F(x) = 2\ln|x| + \frac{1}{x} - 2\ln|x+1|.

Passo 5

Calculamos F(5) e F(1):
F(5) = 2\ln 5 + \frac{1}{5} - 2\ln 6,
F(1) = 2\ln 1 + 1 - 2\ln 2 = 1 - 2\ln 2.
Portanto,
\int_{1}^{5} \frac{x-1}{x^{2}(x+1)}\,dx = F(5) - F(1) = 2\ln 5 + \frac{1}{5} - 2\ln 6 - (1 - 2\ln 2).
Reagrupando os logaritmos e os termos constantes, obtemos
2\bigl(\ln 5 - \ln 6 + \ln 2\bigr) - 1 + \frac{1}{5} = 2\ln\frac{10}{6} - \frac{4}{5} = 2\ln\frac{5}{3} - \frac{4}{5}.

Resposta

2\ln\frac{5}{3} - \frac{4}{5}.

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