Calcule a integral definida utilizando a integração por frações parciais:
\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2}-2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2}-2}\,dx
usando integração por frações parciais. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, primeiro fazemos divisão de polinômios para reescrever o integrando e depois aplicamos a técnica de substituição para cada termo.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^{3} por x^{2}-2, obtemos
\frac{x^{3}}{x^{2}-2} = x + \frac{2x}{x^{2}-2}.
Isso porque x\,(x^{2}-2)=x^{3}-2x e sobra 2x no numerador.

Passo 3

Agora separamos a integral em dois termos:
\int \frac{x^{3}}{x^{2}-2}\,dx = \int x\,dx \;+\;\int \frac{2x}{x^{2}-2}\,dx.
Para o segundo termo usamos a substituição
u = x^{2}-2,\quad du = 2x\,dx,
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\int \frac{2x}{x^{2}-2}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C = \ln\bigl|x^{2}-2\bigr| + C.

Passo 4

Somando as primitivas, uma antiderivada geral é
F(x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln\bigl|x^{2}-2\bigr|.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo nos limites 0 e 1:
\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2}-2}\,dx = F(1) - F(0) = \Bigl(\tfrac{1^{2}}{2} + \ln\bigl|1-2\bigr|\Bigr) - \Bigl(\tfrac{0^{2}}{2} + \ln\bigl|0-2\bigr|\Bigr).

Passo 6

Calculando cada parte:
F(1)=\tfrac{1}{2} + \ln\bigl|{-1}\bigr| = \tfrac{1}{2} + 0, \quad F(0)=0 + \ln\bigl|{-2}\bigr| = \ln 2.
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\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{x^{2}-2}\,dx = \frac{1}{2} - \ln 2.

Resposta

\frac{1}{2} - \ln 2

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