3- Calcule a integral:
(a) analiticamente, (b) por uma única aplicação da regra do trapézio; (c) por aplicações múltiplas da regra do trapézio, com
e 4; (d) uma única aplicação da regra
de Simpson; (e) aplicação da regra
de Simpson repetida com
; (f) uma aplicação única da regra
de Simpson, e (g) aplicação múltipla da regra de Simpson, com
. Para cada estimativa numérica determine o erro relativo porcentual com base em (a).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
de sete maneiras diferentes:
(a) analiticamente (valor exato);
(b) por uma única aplicação da regra do trapézio (um trapézio sobre todo o intervalo);
(c) por aplicações múltiplas da regra do trapézio, com e
(regra composta);
(d) uma única aplicação da regra de Simpson (aplicação simples com
subintervalos);
(e) aplicação da regra de Simpson repetida com
(composta);
(f) uma aplicação única da regra de Simpson (um bloco de 3 subintervalos sobre todo o intervalo);
(g) aplicação múltipla da regra de Simpson com (aqui, como
é ímpar, usaremos a combinação: regra
composta sobre os primeiros
subintervalos e regra
sobre os últimos 3 subintervalos).
Para cada estimativa numérica pede-se também o erro relativo percentual usando o valor exato de (a) como referência.
(a) analiticamente (valor exato);
(b) por uma única aplicação da regra do trapézio (um trapézio sobre todo o intervalo);
(c) por aplicações múltiplas da regra do trapézio, com
(d) uma única aplicação da regra
(e) aplicação da regra
(f) uma aplicação única da regra
(g) aplicação múltipla da regra de Simpson com
Para cada estimativa numérica pede-se também o erro relativo percentual usando o valor exato de (a) como referência.
As informações relevantes dadas (que usarei): o integrando é
, o intervalo é
. Não há outras informações ocultas — posso aplicar diretamente as fórmulas de quadratura.
Passo 2
(a) Calcular analiticamente
.
Primeiro, explicando a técnica: a integral de uma soma é a soma das integrais; a integral de uma constante
é
; a integral de
é
. Então
Calcule cada parte:
Somando,
Este é o valor exato. Numericamente (para comparação posterior) usarei
Passo 3
(b) Regra do trapézio — aplicação única (um trapézio no intervalo
).
Fórmula da regra do trapézio para um intervalo
:
Aqui
,
,
. Calcule os extremos:
Aplicando:
Numérico:
Erro absoluto e erro relativo percentual (baseado em
):
Passo 4
(c) Regra do trapézio composta com
.
Explicando a fórmula composta: com
subintervalos de comprimento
,
Para
:
. Pontos:
,
,
.
Já sabemos ,
. Calcule
:
Já sabemos
Aplicando a fórmula:
Numérico:
Erro relativo percentual:
Passo 5
(c) Regra do trapézio composta com
.
Agora
. Pontos
,
. Valores:
Aplicando a fórmula composta:
Numérico:
Erro relativo percentual:
Passo 6
(d) Regra
de Simpson — aplicação única (simples, com
).
Fórmula da aplicação simples de Simpson para
e ponto médio
:
Aqui
,
,
. Já temos
,
,
. Então
Numérico:
(Expliquei: o termo
vem de
, e a soma numérica foi calculada com
.)
Erro relativo percentual:
Passo 7
(e) Regra
de Simpson composta com
.
Para
temos
. Fórmula composta (Simpson 1/3):
Usando os
calculados no Passo 5:
Numérico:
Neste caso o valor numérico coincide (dentro dos dígitos mostrados) com o valor exato
. O erro relativo é essencialmente zero (na precisão dada), isto é:
Passo 8
(f) Regra de Simpson
— aplicação única (um bloco de 3 subintervalos).
A regra
para um bloco com
dá:
Aqui
. Pontos:
,
,
,
. Valores:
Aplicando:
Numérico:
Novamente, o resultado coincide (na precisão mostrada) com o valor exato
. Erro relativo:
Passo 9
(g) Aplicação múltipla da regra de Simpson com
.
Observação importante (didática): a regra composta de Simpson
exige número par de subintervalos. Quando
é ímpar (aqui
), o procedimento padrão é aplicar a regra
composta nos primeiros
subintervalos (aqui
, que é par) e aplicar uma regra
de Simpson sobre os últimos 3 subintervalos. Assim somamos os dois resultados para cobrir os 5 subintervalos. Este é um procedimento comum na prática numérica.
Detalhes:
- Divisão uniforme:
. - Pontos
, .
Valores relevantes (usando valores trigonométricos conhecidos):
Aplicamos Simpson
simples sobre os primeiros dois subintervalos
(comprimento
):
E aplicamos a regra
sobre os últimos três subintervalos
:
Somando:
Substituindo os números e calculando (os cálculos diretos foram feitos com as aproximações acima) obtemos:
O resultado numérico coincide (na precisão mostrada) com o valor exato
. Erro relativo:
Passo 10
Resumo dos erros e comentários finais (didáticos e motivadores):
- A integral exata é simples porque a função é soma de uma constante e de
; integrar constantes e funções trigonométricas básicas é rotina: constante vira multiplicação por , vira . - Regras numéricas de quadratura (trapézio, Simpson) têm fórmulas diretas que eu usei; expliquei cada fórmula antes de aplicar.
- Observação prática: neste caso várias regras (Simpson composta, Simpson 3/8, e a combinação para
) reproduziram o valor exato com a precisão mostrada — isso acontece quando os pontos de amostragem capturam bem a oscilação suave do cosseno e as fórmulas de quadratura acabam integrando exatamente (ou quase) esse tipo de função. A regra do trapézio é menos precisa (erro maior) porque aproxima a função por segmentos lineares apenas. - Vai dar certo na prova: decore as fórmulas do trapézio, do Simpson
(tanto simples quanto composta) e do , saiba como dividir o intervalo (calcule ), e lembre-se da técnica de combinar e quando for ímpar.
Resposta
(a)
(b) regra do trapézio (única aplicação):
;\quad erro relativo
(c) trapézio composta
:
;\quad erro relativo
(c) trapézio composta
:
;\quad erro relativo
(d) Simpson
(única aplicação,
):
;\quad erro relativo
(e) Simpson
composto
:
;\quad erro relativo
(f) Simpson
(única aplicação,
):
;\quad erro relativo
(g) Simpson composta com
(combinação
sobre primeiros 2 subintervalos e
sobre os últimos 3):
;\quad erro relativo