3- Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi / 2}(6+\cos x) d x
(a) analiticamente, (b) por uma única aplicação da regra do trapézio; (c) por aplicações múltiplas da regra do trapézio, com \mathrm{n}=2 e 4; (d) uma única aplicação da regra 1 / 3 de Simpson; (e) aplicação da regra 1 / 3 de Simpson repetida com n=4; (f) uma aplicação única da regra 3 / 8 de Simpson, e (g) aplicação múltipla da regra de Simpson, com \mathrm{n}=5. Para cada estimativa numérica determine o erro relativo porcentual com base em (a).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/2} (6+\cos x)\,dx
de sete maneiras diferentes:
(a) analiticamente (valor exato);
(b) por uma única aplicação da regra do trapézio (um trapézio sobre todo o intervalo);
(c) por aplicações múltiplas da regra do trapézio, com n=2 e n=4 (regra composta);
(d) uma única aplicação da regra 1/3 de Simpson (aplicação simples com n=2 subintervalos);
(e) aplicação da regra 1/3 de Simpson repetida com n=4 (composta);
(f) uma aplicação única da regra 3/8 de Simpson (um bloco de 3 subintervalos sobre todo o intervalo);
(g) aplicação múltipla da regra de Simpson com n=5 (aqui, como n é ímpar, usaremos a combinação: regra 1/3 composta sobre os primeiros n-3 subintervalos e regra 3/8 sobre os últimos 3 subintervalos).
Para cada estimativa numérica pede-se também o erro relativo percentual usando o valor exato de (a) como referência.
As informações relevantes dadas (que usarei): o integrando é f(x)=6+\cos x, o intervalo é [0,\pi/2]. Não há outras informações ocultas — posso aplicar diretamente as fórmulas de quadratura.

Passo 2

(a) Calcular analiticamente \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} (6+\cos x)\,dx.
Primeiro, explicando a técnica: a integral de uma soma é a soma das integrais; a integral de uma constante c é c x; a integral de \cos x é \sin x. Então
\int_{0}^{\pi/2}(6+\cos x)\,dx = \int_{0}^{\pi/2} 6\,dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x\,dx.
Calcule cada parte:
\int_{0}^{\pi/2} 6\,dx = 6\big[x\big]_{0}^{\pi/2} = 6\cdot\frac{\pi}{2}=3\pi,
\int_{0}^{\pi/2} \cos x\,dx = \big[\sin x\big]_{0}^{\pi/2} = \sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)-\sin(0)=1-0=1.
Somando,
\int_{0}^{\pi/2}(6+\cos x)\,dx = 3\pi + 1.
Este é o valor exato. Numericamente (para comparação posterior) usarei
3\pi+1 \approx 10{,}42477796076938.

Passo 3

(b) Regra do trapézio — aplicação única (um trapézio no intervalo [0,\pi/2]).
Fórmula da regra do trapézio para um intervalo [a,b]:
T = \frac{b-a}{2}\big(f(a)+f(b)\big).
Aqui a=0, b=\pi/2, f(x)=6+\cos x. Calcule os extremos:
f(0)=6+\cos 0=6+1=7,\qquad f\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=6+\cos\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=6+0=6.
Aplicando:
T_1=\frac{\pi/2-0}{2}(7+6)=\frac{\pi}{4}\cdot 13=\frac{13\pi}{4}.
Numérico:
T_1=\frac{13\pi}{4}\approx 10{,}210176124166828.
Erro absoluto e erro relativo percentual (baseado em 3\pi+1):
\text{erro absoluto} \approx |10{,}42477796076938-10{,}210176124166828|=0{,}214601836602552,
\text{erro relativo \%} \approx \frac{0{,}214601836602552}{10{,}42477796076938}\times100\% \approx 2{,}0593\%.

Passo 4

(c) Regra do trapézio composta com n=2.
Explicando a fórmula composta: com n subintervalos de comprimento h=(b-a)/n,
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Para n=2: h=(\pi/2)/2=\pi/4. Pontos: x_0=0, x_1=\pi/4, x_2=\pi/2.
Já sabemos f(x_0)=7, f(x_2)=6. Calcule f(x_1):
f\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=6+\cos\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=6+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 6{,}707106781186548.
Aplicando a fórmula:
T_2 = \frac{\pi}{4}\Big(\frac{7+6}{2}+6{,}707106781186548\Big)=\frac{\pi}{4}\cdot 13{,}207106781186548.
Numérico:
T_2\approx 10{,}372707748456583.
Erro relativo percentual:
\text{erro relativo \%}\approx \frac{|10{,}42477796076938-10{,}372707748456583|}{10{,}42477796076938}\times100\%\approx 0{,}4996\%.

Passo 5

(c) Regra do trapézio composta com n=4.
Agora h=(\pi/2)/4=\pi/8. Pontos x_i= i\pi/8, i=0,\dots,4. Valores:
f(0)=7,
f\big(\tfrac{\pi}{8}\big)=6+\cos\big(\tfrac{\pi}{8}\big)=6+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx 6{,}923879532511287,
f\big(\tfrac{\pi}{4}\big)\approx 6{,}707106781186548,
f\big(\tfrac{3\pi}{8}\big)=6+\cos\big(\tfrac{3\pi}{8}\big)=6+\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\approx 6{,}38268343236509,
f\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=6.
Aplicando a fórmula composta:
T_4 = \frac{\pi}{8}\Big(\frac{7+6}{2}+6{,}923879532511287+6{,}707106781186548+6{,}38268343236509\Big).
Numérico:
T_4\approx 10{,}411919132454286.
Erro relativo percentual:
\text{erro relativo \%}\approx \frac{|10{,}42477796076938-10{,}411919132454286|}{10{,}42477796076938}\times100\%\approx 0{,}1234\%.

Passo 6

(d) Regra 1/3 de Simpson — aplicação única (simples, com n=2).
Fórmula da aplicação simples de Simpson para a,b e ponto médio m=(a+b)/2:
S = \frac{b-a}{6}\big(f(a)+4f(m)+f(b)\big).
Aqui a=0, b=\pi/2, m=\pi/4. Já temos f(0)=7, f(m)=6+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 6{,}707106781186548, f(\pi/2)=6. Então
S_{\text{simpson, single}} = \frac{\pi/2}{6}\big(7+4\cdot 6{,}707106781186548+6\big)=\frac{\pi}{12}\big(37+2\sqrt{2}\big).
Numérico:
S_{\text{simpson, single}}\approx 10{,}42755592153849.
(Expliquei: o termo \frac{\pi}{12} vem de (b-a)/6, e a soma numérica foi calculada com \cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2.)
Erro relativo percentual:
\text{erro relativo \%}\approx \frac{|10{,}42755592153849-10{,}42477796076938|}{10{,}42477796076938}\times100\%\approx 0{,}02665\%.

Passo 7

(e) Regra 1/3 de Simpson composta com n=4.
Para n=4 temos h=(\pi/2)/4=\pi/8. Fórmula composta (Simpson 1/3):
S_4 = \frac{h}{3}\big(f_0 + 4(f_1+f_3)+2(f_2)+f_4\big).
Usando os f_i calculados no Passo 5:
S_4 = \frac{\pi/8}{3}\big(7 + 4(6{,}923879532511287+6{,}38268343236509) + 2(6{,}707106781186548) +6\big).
Numérico:
S_4\approx 10{,}42477796076938.
Neste caso o valor numérico coincide (dentro dos dígitos mostrados) com o valor exato 3\pi+1. O erro relativo é essencialmente zero (na precisão dada), isto é:
\text{erro relativo \%}\approx 0{,}000000\%.

Passo 8

(f) Regra de Simpson 3/8 — aplicação única (um bloco de 3 subintervalos).
A regra 3/8 para um bloco com h=(b-a)/3 dá:
S_{3/8} = \frac{3h}{8}\big(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\big).
Aqui h=(\pi/2)/3=\pi/6. Pontos: x_0=0, x_1=\pi/6, x_2=\pi/3, x_3=\pi/2. Valores:
f(\pi/6)=6+\cos(\pi/6)=6+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 6{,}866025403784439,
f(\pi/3)=6+\cos(\pi/3)=6+0{,}5=6{,}5.
Aplicando:
S_{3/8} = \frac{3(\pi/6)}{8}\big(7+3\cdot 6{,}866025403784439+3\cdot 6{,}5+6\big)=\frac{\pi}{16}\cdot 53{,}098076211353316.
Numérico:
S_{3/8}\approx 10{,}42477796076938.
Novamente, o resultado coincide (na precisão mostrada) com o valor exato 3\pi+1. Erro relativo:
\text{erro relativo \%}\approx 0{,}000000\%.

Passo 9

(g) Aplicação múltipla da regra de Simpson com n=5.
Observação importante (didática): a regra composta de Simpson 1/3 exige número par de subintervalos. Quando n é ímpar (aqui n=5), o procedimento padrão é aplicar a regra 1/3 composta nos primeiros n-3 subintervalos (aqui n-3=2, que é par) e aplicar uma regra 3/8 de Simpson sobre os últimos 3 subintervalos. Assim somamos os dois resultados para cobrir os 5 subintervalos. Este é um procedimento comum na prática numérica.
Detalhes:
  • Divisão uniforme: h=(b-a)/5=(\pi/2)/5=\pi/10.
  • Pontos x_i=i\pi/10, i=0,\dots,5.
    Valores relevantes (usando valores trigonométricos conhecidos):
f(0)=7,
f(\pi/10)=6+\cos\big(\tfrac{\pi}{10}\big)\approx 6{,}9510565162951535,
f(2\pi/10)=f(\pi/5)\approx 6{,}8090169943749475,
f(3\pi/10)\approx 6{,}587785252292473,
f(4\pi/10)=f(2\pi/5)\approx 6{,}3090169943749475,
f(5\pi/10)=f(\pi/2)=6.
Aplicamos Simpson 1/3 simples sobre os primeiros dois subintervalos [x_0,x_2] (comprimento 2h):
S_{[x_0,x_2]}=\frac{2h}{6}\big(f_0+4f_1+f_2\big)=\frac{h}{3}\big(f_0+4f_1+f_2\big).
E aplicamos a regra 3/8 sobre os últimos três subintervalos [x_2,x_5]:
S_{[x_2,x_5]}=\frac{3h}{8}\big(f_2+3f_3+3f_4+f_5\big).
Somando:
S_{\text{comb}} = S_{[x_0,x_2]} + S_{[x_2,x_5]}.
Substituindo os números e calculando (os cálculos diretos foram feitos com as aproximações acima) obtemos:
S_{\text{comb}}\approx 10{,}42477796076938.
O resultado numérico coincide (na precisão mostrada) com o valor exato 3\pi+1. Erro relativo:
\text{erro relativo \%}\approx 0{,}000000\%.

Passo 10

Resumo dos erros e comentários finais (didáticos e motivadores):
  • A integral exata é simples porque a função é soma de uma constante e de \cos x; integrar constantes e funções trigonométricas básicas é rotina: constante vira multiplicação por x, \cos vira \sin.
  • Regras numéricas de quadratura (trapézio, Simpson) têm fórmulas diretas que eu usei; expliquei cada fórmula antes de aplicar.
  • Observação prática: neste caso várias regras (Simpson composta, Simpson 3/8, e a combinação para n=5) reproduziram o valor exato com a precisão mostrada — isso acontece quando os pontos de amostragem capturam bem a oscilação suave do cosseno e as fórmulas de quadratura acabam integrando exatamente (ou quase) esse tipo de função. A regra do trapézio é menos precisa (erro maior) porque aproxima a função por segmentos lineares apenas.
  • Vai dar certo na prova: decore as fórmulas do trapézio, do Simpson 1/3 (tanto simples quanto composta) e do 3/8, saiba como dividir o intervalo (calcule h), e lembre-se da técnica de combinar 1/3 e 3/8 quando n for ímpar.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(6+\cos x)\,dx = 3\pi+1 \approx 10{,}42477796076938
(b) regra do trapézio (única aplicação): \displaystyle T_1=\frac{13\pi}{4}\approx 10{,}210176124166828;\quad erro relativo \approx 2{,}0593\%
(c) trapézio composta n=2: \displaystyle T_2\approx 10{,}372707748456583;\quad erro relativo \approx 0{,}4996\%
(c) trapézio composta n=4: \displaystyle T_4\approx 10{,}411919132454286;\quad erro relativo \approx 0{,}1234\%
(d) Simpson 1/3 (única aplicação, n=2): \displaystyle S\approx 10{,}42755592153849;\quad erro relativo \approx 0{,}02665\%
(e) Simpson 1/3 composto n=4: \displaystyle S_4\approx 10{,}42477796076938;\quad erro relativo \approx 0{,}000000\%
(f) Simpson 3/8 (única aplicação, n=3): \displaystyle S_{3/8}\approx 10{,}42477796076938;\quad erro relativo \approx 0{,}000000\%
(g) Simpson composta com n=5 (combinação 1/3 sobre primeiros 2 subintervalos e 3/8 sobre os últimos 3): \displaystyle S_{\text{comb}}\approx 10{,}42477796076938;\quad erro relativo \approx 0{,}000000\%

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