Calcule a integral
\int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~d} r}
para o qual \vec{F}(x, y, z)=\left(x+y^{2}\right) \overrightarrow{\mathrm{i}}+(x z) \overrightarrow{\mathrm{j}}+(y+z) \overrightarrow{\mathrm{k}} e C é uma curva parametrizada por
\begin{gathered} \vec{r}:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\\ \vec{r}(t)=t^{2} \vec{i}+t^{3} \vec{j}+2 t \vec{k} . \end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\big(x+y^{2}\big)\,\overrightarrow{\mathrm{i}}+(x z)\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+(y+z)\,\overrightarrow{\mathrm{k}}.
  • Dá a curva C pela parametrização \vec{r}:[0,2]\to\mathbb{R}^{3} com
\vec{r}(t)=t^{2}\,\overrightarrow{\mathrm{i}}+t^{3}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+2t\,\overrightarrow{\mathrm{k}}, \qquad 0\le t\le 2.
  • Pede calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}r}.
Informações extraídas da parametrização (vou usá‑las depois): \,x(t)=t^{2}, \,y(t)=t^{3}, \,z(t)=2t.

Passo 2

Fórmula e ideia do método (explicada como num gabarito passo a passo)
  • A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada é calculada por substituir a parametrização no campo e usar a derivada da curva. A fórmula é
\int_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec r=\int_{a}^{b}\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t)\,\mathrm{d}t,
onde a e b são os limites do parâmetro (aqui a=0 e b=2).
  • O que significa cada coisa:
    • \vec{r}(t) dá as coordenadas \big(x(t),y(t),z(t)\big) de cada ponto da curva.
    • \vec{r}\,'(t) é a velocidade da partícula que percorre C; componentes são as derivadas de x(t),y(t),z(t).
    • \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) é o campo avaliado em cada ponto da curva.
    • O produto escalar \cdot combina essas duas coisas ponto a ponto para obter uma função escalar em t que se integra de a a b.
Vou aplicar exatamente essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) (derivar componente a componente)
  • Das componentes \,x(t)=t^{2}, \,y(t)=t^{3}, \,z(t)=2t temos
\vec{r}\,'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(t^{2}\big)\,\overrightarrow{\mathrm{i}} +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(t^{3}\big)\,\overrightarrow{\mathrm{j}} +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(2t\big)\,\overrightarrow{\mathrm{k}}.
  • Calculando as derivadas:
\vec{r}\,'(t)=2t\,\overrightarrow{\mathrm{i}}+3t^{2}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\,\overrightarrow{\mathrm{k}}.

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva: calcular \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)
  • Substituo x=t^{2}, y=t^{3}, z=2t em cada componente de \vec{F}.
  • Primeira componente: x+y^{2}=t^{2}+(t^{3})^{2}=t^{2}+t^{6}.
  • Segunda componente: x z = t^{2}\cdot(2t)=2t^{3}.
  • Terceira componente: y+z = t^{3}+2t.
  • Logo
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)=\big(t^{2}+t^{6}\big)\,\overrightarrow{\mathrm{i}}+2t^{3}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+\big(t^{3}+2t\big)\,\overrightarrow{\mathrm{k}}.

Passo 5

Fazer o produto escalar \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t) e simplificar
  • Produto escalar componente a componente:
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t) =\big(t^{2}+t^{6}\big)(2t)+(2t^{3})(3t^{2})+\big(t^{3}+2t\big)(2).
  • Agora desenvolvo termo a termo:
    • (t^{2}+t^{6})(2t)=2t^{3}+2t^{7}.
    • (2t^{3})(3t^{2})=6t^{5}.
    • (t^{3}+2t)(2)=2t^{3}+4t.
  • Somando:
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t)=2t^{7}+6t^{5}+4t^{3}+4t.

Passo 6

Integrar em t de 0 a 2
  • A integral pedido é
\int_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec r=\int_{0}^{2}\big(2t^{7}+6t^{5}+4t^{3}+4t\big)\,\mathrm{d}t.
  • Uso a regra do polinômio (regra do poder): \int t^{n}\,\mathrm{d}t=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
  • Calculando antiderivada termo a termo:
    • \displaystyle\int 2t^{7}\,\mathrm{d}t=\frac{2}{8}t^{8}=\frac{t^{8}}{4}.
    • \displaystyle\int 6t^{5}\,\mathrm{d}t=\frac{6}{6}t^{6}=t^{6}.
    • \displaystyle\int 4t^{3}\,\mathrm{d}t=\frac{4}{4}t^{4}=t^{4}.
    • \displaystyle\int 4t\,\mathrm{d}t=\frac{4}{2}t^{2}=2t^{2}.
  • Antiderivada total:
\frac{t^{8}}{4}+t^{6}+t^{4}+2t^{2}.
  • Avalio de 0 a 2:
    • Em t=2: \dfrac{2^{8}}{4}+2^{6}+2^{4}+2\cdot 2^{2}.
    • Calculando as potências: 2^{8}=256, 2^{6}=64, 2^{4}=16, 2^{2}=4.
    • Substituindo:
    \frac{256}{4}+64+16+2\cdot 4=64+64+16+8.
    • Somando: 64+64=128, 128+16=144, 144+8=152.
    • Em t=0 a antiderivada vale 0.
  • Portanto a integral é 152.

Resposta

152

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