Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
está dada por uma parametrização em função de
:
Informações relevantes que temos:
O que é pedido: calcular a integral de linha do escalar
ao longo da curva
, que será convertida em uma integral em
usando a parametrização e o elemento de comprimento
.
Passo 2
Relembrando a fórmula para transformar a integral de linha para uma parametrização
: o elemento de comprimento é
Aqui
e
são as derivadas das coordenadas em relação a
. Essa fórmula vem diretamente da definição do comprimento de arco pela norma do vetor velocidade
.
Calculemos as derivadas:
Passo 3
Agora calculamos
substituindo as derivadas:
Também expressamos o integrando
em função de
:
Portanto a integral de linha vira a integral em
:
Passo 4
Simplificando o integrando:
Para resolver essa integral, usamos a substituição típica para radicais com
. Defina
Precisamos escrever
em termos de
. Note que
, pois
e
.
Substituindo na integral:
Os limites transformam-se: quando
,
; quando
,
. Simplificando o fator:
Passo 5
Integramos termo a termo usando a regra
(para
):
Multiplicando o
dentro:
Agora avaliamos nos limites
e
. Lembre que
,
e
.
Valor em :
Valor em
Valor em
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):