Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\n\int_{C} x y d s, \quad C: x=t^{2}, \quad y=2 t, \quad 0 \leq t \leq 1\n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y\, d s
onde a curva C está dada por uma parametrização em função de t:
x = t^{2},\qquad y = 2t,\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes que temos:
\text{(i)}\; x(t)=t^{2},\quad \text{(ii)}\; y(t)=2t,\quad \text{(iii)}\; \text{intervalo } t\in[0,1].
O que é pedido: calcular a integral de linha do escalar x y ao longo da curva C, que será convertida em uma integral em t usando a parametrização e o elemento de comprimento d s.

Passo 2

Relembrando a fórmula para transformar a integral de linha para uma parametrização r(t)=(x(t),y(t)): o elemento de comprimento é
d s = \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2} + \left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}}\, d t.
Aqui \frac{d x}{d t} e \frac{d y}{d t} são as derivadas das coordenadas em relação a t. Essa fórmula vem diretamente da definição do comprimento de arco pela norma do vetor velocidade r'(t).
Calculemos as derivadas:
\frac{d x}{d t} = \frac{d}{d t}(t^{2}) = 2t,
\frac{d y}{d t} = \frac{d}{d t}(2t) = 2.

Passo 3

Agora calculamos d s substituindo as derivadas:
d s = \sqrt{(2t)^{2} + (2)^{2}}\, d t = \sqrt{4t^{2} + 4}\, d t = 2\sqrt{t^{2}+1}\, d t.
Também expressamos o integrando x y em função de t:
x(t)\,y(t) = (t^{2})\cdot(2t) = 2t^{3}.
Portanto a integral de linha vira a integral em t:
\int_{C} x y\, d s = \int_{0}^{1} \bigl(x(t)y(t)\bigr)\, d s = \int_{0}^{1} \bigl(2t^{3}\bigr)\,\bigl(2\sqrt{t^{2}+1}\, d t\bigr).

Passo 4

Simplificando o integrando:
\int_{0}^{1} 2t^{3}\cdot 2\sqrt{t^{2}+1}\, d t = \int_{0}^{1} 4t^{3}\sqrt{t^{2}+1}\, d t.
Para resolver essa integral, usamos a substituição típica para radicais com t^{2}+1. Defina
u = t^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad du = 2t\, d t.
Precisamos escrever t^{3} d t em termos de u. Note que t^{3} d t = t^{2}\cdot t\, d t = (u-1)\cdot \frac{du}{2}, pois t^{2}=u-1 e t\, d t = \tfrac{1}{2}du.
Substituindo na integral:
4\int_{0}^{1} t^{3}\sqrt{t^{2}+1}\, d t = 4\int_{u(0)}^{u(1)} (u-1)\sqrt{u}\cdot \frac{du}{2}.
Os limites transformam-se: quando t=0, u=0^{2}+1=1; quando t=1, u=1^{2}+1=2. Simplificando o fator:
4\cdot\frac{1}{2}\int_{1}^{2} (u-1)u^{1/2}\, du = 2\int_{1}^{2} \bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\, du.

Passo 5

Integramos termo a termo usando a regra \int u^{\alpha}\,du = \dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} (para \alpha\neq -1):
2\left[\int u^{3/2}\,du - \int u^{1/2}\,du\right] = 2\left[\frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2}.
Multiplicando o 2 dentro:
= \left(\frac{4}{5}u^{5/2} - \frac{4}{3}u^{3/2}\right)_{1}^{2}.
Agora avaliamos nos limites u=2 e u=1. Lembre que 2^{1/2}=\sqrt{2}, 2^{3/2}=2\sqrt{2} e 2^{5/2}=4\sqrt{2}.
Valor em u=2:
\frac{4}{5}\cdot 4\sqrt{2} - \frac{4}{3}\cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\left(\frac{16}{5} - \frac{8}{3}\right) = \sqrt{2}\cdot\frac{8}{15}.
Valor em u=1:
\frac{4}{5}\cdot 1 - \frac{4}{3}\cdot 1 = \frac{4}{5}-\frac{4}{3} = -\frac{8}{15}.
Subtraindo (valor em 2 menos valor em 1):
\sqrt{2}\cdot\frac{8}{15} - \left(-\frac{8}{15}\right) = \frac{8}{15}\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{8}{15}\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)

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