Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt{16 x^{2}+5 x}+4 x

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \sqrt{16x^{2}+5x}+4x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada de um polinômio em x somada a 4x.
  • O limite é tomado quando x tende para -\infty (valores muito negativos de x).
  • Não há outras condições ou parâmetros no problema.

Passo 2

Entendendo o comportamento dominante (intuição inicial).
  • Para x com grande valor absoluto, o termo de maior ordem dentro da raiz é 16x^{2}. Então a raiz se comporta aproximadamente como \sqrt{16x^{2}}=4|x|.
  • Como x\to -\infty, tem-se |x|=-x. Logo a parte dominante da raiz é aproximadamente -4x.
  • Assim, a expressão tem a forma aproximada -4x+4x, que dá 0. Isso indica uma compensação entre os termos principais, ou seja, temos uma indeterminação do tipo \infty-\infty que exige olhar o termo de ordem inferior para achar o limite exato.
Nota importante (fato usado frequentemente): para todo x,
\sqrt{x^{2}}=|x|,
e quando analisamos x\to -\infty usamos |x|=-x.

Passo 3

Aplicando o truque da conjugada (racionalização) para eliminar a indeterminação.
  • Considere a expressão original E(x)=\sqrt{16x^{2}+5x}+4x.
  • Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada \sqrt{16x^{2}+5x}-4x (isso é aritmética algébrica: multiplicar a expressão por 1 escrita como \dfrac{\sqrt{16x^{2}+5x}-4x}{\sqrt{16x^{2}+5x}-4x}):
E(x)=\frac{\big(\sqrt{16x^{2}+5x}+4x\big)\big(\sqrt{16x^{2}+5x}-4x\big)}{\sqrt{16x^{2}+5x}-4x} =\frac{(16x^{2}+5x)-16x^{2}}{\sqrt{16x^{2}+5x}-4x}.
  • Simplificando o numerador:
E(x)=\frac{5x}{\sqrt{16x^{2}+5x}-4x}.

Passo 4

Simplificar a expressão resultante usando \sqrt{16x^{2}+5x}=|x|\sqrt{16+\dfrac{5}{x}}.
  • Escrevendo a raiz em função de |x|:
\sqrt{16x^{2}+5x}=|x|\sqrt{16+\frac{5}{x}}.
  • Para x\to -\infty temos |x|=-x. Substituindo na expressão de E(x):
E(x)=\frac{5x}{|x|\sqrt{16+\frac{5}{x}}-4x} =\frac{5x}{-x\sqrt{16+\frac{5}{x}}-4x}.
  • Fatorando x no denominador:
E(x)=\frac{5x}{x\big(-\sqrt{16+\frac{5}{x}}-4\big)} =\frac{5}{-\sqrt{16+\frac{5}{x}}-4},
onde na última igualdade cancelou-se x (válido para x\neq 0; estamos interessados em x muito negativos).

Passo 5

Calcular o limite tomando x\to -\infty.
  • Quando x\to -\infty temos \dfrac{5}{x}\to 0. Portanto
\sqrt{16+\frac{5}{x}}\longrightarrow \sqrt{16}=4.
  • Substituindo esse valor de limite na expressão simplificada:
\lim_{x\to -\infty} E(x)=\frac{5}{-4-4}=\frac{5}{-8}=-\dfrac{5}{8}.

Passo 6

Verificação alternativa (expansão assintótica curta) — só pra confirmar a intuição.
  • Reescrevendo a raiz como
\sqrt{16x^{2}+5x}=4|x|\sqrt{1+\frac{5}{16x}}.
  • Para x\to -\infty, |x|=-x e o argumento da raiz é 1+u com u=\dfrac{5}{16x}\to 0. Usando a aproximação \sqrt{1+u}\approx 1+\dfrac{u}{2} para u pequeno,
\sqrt{16x^{2}+5x}\approx -4x\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{16x}\right) =-4x-\frac{5}{8}+o(1).
  • Somando 4x obtemos
\sqrt{16x^{2}+5x}+4x \approx -\frac{5}{8}+o(1),
o que confirma o limite -\dfrac{5}{8}.

Resposta

-\dfrac{5}{8}

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