Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve uma raiz quadrada de um polinômio em
somada a . - O limite é tomado quando
tende para (valores muito negativos de ). - Não há outras condições ou parâmetros no problema.
Passo 2
Entendendo o comportamento dominante (intuição inicial).
- Para
com grande valor absoluto, o termo de maior ordem dentro da raiz é . Então a raiz se comporta aproximadamente como . - Como
, tem-se . Logo a parte dominante da raiz é aproximadamente . - Assim, a expressão tem a forma aproximada
, que dá . Isso indica uma compensação entre os termos principais, ou seja, temos uma indeterminação do tipo que exige olhar o termo de ordem inferior para achar o limite exato.
Nota importante (fato usado frequentemente): para todo
,
e quando analisamos
usamos
.
Passo 3
Aplicando o truque da conjugada (racionalização) para eliminar a indeterminação.
- Considere a expressão original
. - Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada
(isso é aritmética algébrica: multiplicar a expressão por escrita como ):
- Simplificando o numerador:
Passo 4
Simplificar a expressão resultante usando
.
- Escrevendo a raiz em função de
:
- Para
temos . Substituindo na expressão de :
- Fatorando
no denominador:
onde na última igualdade cancelou-se
(válido para
; estamos interessados em
muito negativos).
Passo 5
Calcular o limite tomando
.
- Quando
temos . Portanto
- Substituindo esse valor de limite na expressão simplificada:
Passo 6
Verificação alternativa (expansão assintótica curta) — só pra confirmar a intuição.
- Reescrevendo a raiz como
- Para
, e o argumento da raiz é com . Usando a aproximação para pequeno,
- Somando
obtemos
o que confirma o limite
.