Calcule.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left[2^{x}+2^{-x}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\bigl[2^{x}+2^{-x}\bigr].
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é a soma de duas potências de base 2: 2^{x} e 2^{-x}.
  • A variável x tende a -\infty (isto é, vai para valores muito negativos).
  • Todas as quantidades 2^{x} e 2^{-x} são positivas para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Analisar o comportamento de 2^{x} quando x\to -\infty.
Reescrevo 2^{x} como
2^{x}=(1/2)^{-x}.
Como x\to -\infty, tem-se -x\to +\infty. Então estamos olhando para
\lim_{x\to -\infty}2^{x}=\lim_{t\to +\infty}\bigl(1/2\bigr)^{t},
onde coloquei t=-x. Agora, 0<\tfrac{1}{2}<1, e uma potência com base entre 0 e 1 tende a 0 quando o expoente tende a +\infty. Uma maneira rápida de ver isso é usar a exponencial natural:
\bigl(1/2\bigr)^{t}=e^{t\ln(1/2)},
e como \ln(1/2)<0, t\ln(1/2)\to -\infty quando t\to+\infty, logo e^{t\ln(1/2)}\to 0. Portanto
\lim_{x\to -\infty}2^{x}=0.

Passo 3

Analisar o comportamento de 2^{-x} quando x\to -\infty.
Escrevo 2^{-x}=2^{(-x)}. Como já notei, se x\to -\infty então -x\to +\infty. Para base maior que 1, as potências crescem sem limite quando o expoente tende a +\infty. Assim
\lim_{x\to -\infty}2^{-x}=\lim_{t\to +\infty}2^{t}=+\infty.
Um exemplo numérico rápido para intuição: para x=-10 tem-se 2^{-x}=2^{10}=1024; para x=-20, 2^{-x}=2^{20}=1\,048\,576 — cresce muito rápido.

Passo 4

Combinar os dois comportamentos para a soma 2^{x}+2^{-x}.
Temos 2^{x}\ge 0 para todo x. Portanto, para todo x,
2^{x}+2^{-x}\ge 2^{-x}.
Como \lim_{x\to -\infty}2^{-x}=+\infty, a soma, que é maior ou igual a 2^{-x}, também tende a +\infty. Formalmente, pela comparação: se uma função f(x)\ge g(x) para todo x e \lim g(x)=+\infty, então \lim f(x)=+\infty.

Passo 5

Conclusão final e interpretação curta: enquanto 2^{x} vai para 0 ao ir para a esquerda na reta, o termo 2^{-x} explode para +\infty; o termo divergente domina a soma, então o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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