Calcule.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é a soma de duas potências de base
: e . - A variável
tende a (isto é, vai para valores muito negativos). - Todas as quantidades
e são positivas para todo .
Passo 2
Analisar o comportamento de
quando
.
Reescrevo
como
Como
, tem-se
. Então estamos olhando para
onde coloquei
. Agora,
, e uma potência com base entre 0 e 1 tende a 0 quando o expoente tende a
. Uma maneira rápida de ver isso é usar a exponencial natural:
e como
,
quando
, logo
. Portanto
Passo 3
Analisar o comportamento de
quando
.
Escrevo
. Como já notei, se
então
. Para base maior que 1, as potências crescem sem limite quando o expoente tende a
. Assim
Um exemplo numérico rápido para intuição: para
tem-se
; para
,
— cresce muito rápido.
Passo 4
Combinar os dois comportamentos para a soma
.
Temos
para todo
. Portanto, para todo
,
Como
, a soma, que é maior ou igual a
, também tende a
. Formalmente, pela comparação: se uma função
para todo
e
, então
.
Passo 5
Conclusão final e interpretação curta: enquanto
vai para
ao ir para a esquerda na reta, o termo
explode para
; o termo divergente domina a soma, então o limite é
.