Calcule.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[2^{x}+2^{-x}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende para +\infty da expressão \left[2^{x}+2^{-x}\right].
Informações dadas:
  • A função a ser analisada é f(x)=2^{x}+2^{-x}.
  • O ponto de interesse é x \rightarrow +\infty.
Pergunta clara: calcular \lim_{x\rightarrow+\infty}\left[2^{x}+2^{-x}\right].

Passo 2

Vamos estudar o comportamento de cada termo separadamente, começando por \;2^{x}\; quando x\rightarrow+\infty.
Conceito usado: para uma base fixa maior que 1, ou seja \;a>1, a função a^{x} cresce exponencialmente quando x aumenta; portanto tende a +\infty.
Aplicando ao caso: \;2^{x}=e^{x\ln 2}. Como \ln 2>0, o expoente x\ln 2\rightarrow+\infty quando x\rightarrow+\infty, e portanto
\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{x}=+\infty.

Passo 3

Agora analiso o termo \;2^{-x}\; quando x\rightarrow+\infty.
Observação simples: \;2^{-x}=\dfrac{1}{2^{x}}. Como já vimos que \;2^{x}\rightarrow+\infty quando x\rightarrow+\infty, o inverso tende a zero. Portanto
\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{-x}=0.

Passo 4

Interpretação das duas conclusões juntas: uma parcela da soma tende a +\infty e a outra tende a 0. Intuitivamente, a soma de algo que vai para infinito com algo que vai para zero deve ir para infinito.
Para deixar isso bem claro, use uma desigualdade simples: para todo x tem-se
2^{x}+2^{-x}>2^{x}.
Como \;2^{x}\rightarrow+\infty, a expressão à direita fica arbitrariamente grande quando x cresce, logo a soma também fica arbitrariamente grande.

Passo 5

Rigorizando em linguagem de limites infinitos: para qualquer M>0 existe X tal que, para todo x>X, \;2^{x}>M. Então para todo x>X,
2^{x}+2^{-x}>2^{x}>M,
o que mostra que a soma não fica limitada acima e, portanto,
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[2^{x}+2^{-x}\right]=+\infty.

Resposta

+\infty

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