Calcule.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende para
da expressão
.
Informações dadas:
- A função a ser analisada é
. - O ponto de interesse é
.
Pergunta clara: calcular
.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento de cada termo separadamente, começando por
quando
.
Conceito usado: para uma base fixa maior que
, ou seja
, a função
cresce exponencialmente quando
aumenta; portanto tende a
.
Aplicando ao caso:
. Como
, o expoente
quando
, e portanto
Passo 3
Agora analiso o termo
quando
.
Observação simples:
. Como já vimos que
quando
, o inverso tende a zero. Portanto
Passo 4
Interpretação das duas conclusões juntas: uma parcela da soma tende a
e a outra tende a
. Intuitivamente, a soma de algo que vai para infinito com algo que vai para zero deve ir para infinito.
Para deixar isso bem claro, use uma desigualdade simples: para todo
tem-se
Como
, a expressão à direita fica arbitrariamente grande quando
cresce, logo a soma também fica arbitrariamente grande.
Passo 5
Rigorizando em linguagem de limites infinitos: para qualquer
existe
tal que, para todo
,
. Então para todo
,
o que mostra que a soma não fica limitada acima e, portanto,