Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{4 x^{2}+3 x}-2 x

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x^{2}+3x}-2x.
Informações dadas:
  • A variável x vai para +\infty.
  • A expressão é \sqrt{4x^{2}+3x}-2x, que envolve uma raiz quadrada e uma subtração.

Passo 2

Identificar o tipo de indeterminação e por que não dá para simplesmente “trocar” termos:
  • Se tentarmos avaliar diretamente, para x muito grande temos \sqrt{4x^{2}+3x} aproximadamente igual a 2x. Então a expressão tem a forma \infty-\infty, que é uma indeterminação.
  • Indeterminação \infty-\infty significa que não podemos concluir o valor do limite só observando os termos; é preciso manipular algebricamente a expressão para obter uma forma determinada.

Passo 3

Apresentar a técnica útil: multiplicar pelo conjugado (racionalização)
  • A ideia é multiplicar a expressão por 1 na forma \dfrac{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x}{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x}. Isso não altera o valor, mas transforma a diferença de raízes numa forma mais simples.
  • Escrevendo:
\sqrt{4x^{2}+3x}-2x = \left(\sqrt{4x^{2}+3x}-2x\right)\cdot \frac{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x}{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x}.

Passo 4

Fazer a multiplicação e simplificar o numerador
  • O produto no numerador é uma diferença de quadrados:
\left(\sqrt{4x^{2}+3x}-2x\right)\left(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\right) = \big(\sqrt{4x^{2}+3x}\big)^{2}-(2x)^{2}.
  • Calculando:
\big(\sqrt{4x^{2}+3x}\big)^{2}-(2x)^{2}= (4x^{2}+3x)-4x^{2}=3x.
  • Portanto a expressão original fica
\sqrt{4x^{2}+3x}-2x = \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x}.

Passo 5

Preparar a expressão para o cálculo do limite dividindo por x
  • Como estamos tomando x\to+\infty, x é positivo para x grande, então podemos dividir numerador e denominador por x sem mudar o limite:
\frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x} = \frac{3}{\dfrac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{x}+2}.
  • Note que \dfrac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{x}=\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}. Assim
\frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x} = \frac{3}{\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2}.

Passo 6

Calcular o limite usando continuidade da raiz
  • À medida que x\to+\infty temos \dfrac{3}{x}\to 0. Pela continuidade da função raiz quadrada, \sqrt{4+\dfrac{3}{x}}\to\sqrt{4}=2.
  • Então o denominador \sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2 tende a 2+2=4.
  • Logo o limite da fração é
\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2}=\frac{3}{4}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida
  • Não houve perda de informação ao multiplicar pelo conjugado (foi multiplicar por 1).
  • A técnica usada transforma uma indeterminação \infty-\infty numa fração cujo limite é direto de calcular. Isso é um truque padrão para limites com raízes.

Resposta

\dfrac{3}{4}

Exercícios relacionados