Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o limite
.
Informações dadas:
- A variável
vai para . - A expressão é
, que envolve uma raiz quadrada e uma subtração.
Passo 2
Identificar o tipo de indeterminação e por que não dá para simplesmente “trocar” termos:
- Se tentarmos avaliar diretamente, para
muito grande temos aproximadamente igual a . Então a expressão tem a forma , que é uma indeterminação. - Indeterminação
significa que não podemos concluir o valor do limite só observando os termos; é preciso manipular algebricamente a expressão para obter uma forma determinada.
Passo 3
Apresentar a técnica útil: multiplicar pelo conjugado (racionalização)
- A ideia é multiplicar a expressão por
na forma . Isso não altera o valor, mas transforma a diferença de raízes numa forma mais simples. - Escrevendo:
Passo 4
Fazer a multiplicação e simplificar o numerador
- O produto no numerador é uma diferença de quadrados:
- Calculando:
- Portanto a expressão original fica
Passo 5
Preparar a expressão para o cálculo do limite dividindo por
- Como estamos tomando
, é positivo para grande, então podemos dividir numerador e denominador por sem mudar o limite:
- Note que
. Assim
Passo 6
Calcular o limite usando continuidade da raiz
- À medida que
temos . Pela continuidade da função raiz quadrada, . - Então o denominador
tende a . - Logo o limite da fração é
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida
- Não houve perda de informação ao multiplicar pelo conjugado (foi multiplicar por
). - A técnica usada transforma uma indeterminação
numa fração cujo limite é direto de calcular. Isso é um truque padrão para limites com raízes.