Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+3}{x+2}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+3}{x+2}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é a função racional \dfrac{x^{2}+3}{x+2}.
  • O ponto de interesse é x=2.
    A pergunta é única: qual é o valor desse limite (se existir)?

Passo 2

Ideia/método que vamos usar (explicação didática):
  • Polinômios são funções contínuas: para qualquer polinômio p(x) vale \lim_{x\to a}p(x)=p(a).
  • Uma função racional \dfrac{g(x)}{h(x)} (quociente de polinômios) é contínua em pontos onde o denominador não é zero. Mais precisamente, se \lim_{x\to a}g(x)=g(a) e \lim_{x\to a}h(x)=h(a) com h(a)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g(a)}{h(a)}.
  • Portanto, o método prático aqui é: verificar se o denominador ao se aproximar de 2 é diferente de zero. Se for, podemos simplesmente substituir x=2 na numerador e denominador e dividir — isto é, calcular o valor da função em 2.

Passo 3

Identificar numerador e denominador:
g(x)=x^{2}+3,\qquad h(x)=x+2.

Passo 4

Calcular o limite separadamente nos dois polinômios (ou simplesmente avaliar em x=2):
g(2)=2^{2}+3=4+3=7,
h(2)=2+2=4.
Observação importante: h(2)=4\neq 0. Isso garante que a regra do quociente é válida aqui.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente (já que o denominador tem limite não-nulo), temos
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+3}{x+2}=\frac{g(2)}{h(2)}.

Resposta

\dfrac{7}{4}

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