Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{3}+4 x^{2}-x+3\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 2}\left(x^{3}+4x^{2}-x+3\right).
Informações fornecidas:
  • A expressão cujo limite deve ser calculado é o polinômio \;x^{3}+4x^{2}-x+3\;.
  • O ponto de aproximação é x \to 2.
  • Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Entender o que o problema quer: calcular o valor para o qual a expressão se aproxima quando x fica cada vez mais perto de 2. Em linguagem de limite, isso significa determinar se existe um número L tal que os valores de x^{3}+4x^{2}-x+3 ficam arbitrariamente próximos de L sempre que x fica suficientemente próximo de 2.

Passo 3

Conceito-chave que vamos usar (explicação didática):
  • Uma função f(x) é contínua em x=a se vale
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
  • Polinômios são funções muito simples: são somas e produtos de potências de x com coeficientes constantes. Cada monômio x^{n} é contínuo em todo x, e somas e produtos de funções contínuas são contínuos. Logo, qualquer polinômio é contínuo para todo x.
  • Consequência prática: para calcular \lim_{x\to a} de um polinômio basta fazer a substituição direta x=a.
Explicando sem jargão: para polinômios não acontece “pulo” ou “assíntota” no valor do ponto — o valor do limite é simplesmente o valor da função naquele ponto.

Passo 4

Aplicar a ideia: substituir x=2 na expressão, calculando passo a passo.
Calcule cada termo:
2^{3} = 8,
4\cdot 2^{2} = 4\cdot 4 = 16,
-\,2 = -2,
+3 = 3.
Somando os termos na ordem:
8 + 16 = 24,
24 - 2 = 22,
22 + 3 = 25.
Portanto o valor da função em x=2 é 25.

Passo 5

Conclusão: como o polinômio é contínuo em x=2, o limite existe e é igual ao valor da função naquele ponto, que calculamos ser 25.

Resposta

25

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