Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(-2,1,4)}\left(4 x^{2} y-3 x y z^{2}+7 y^{2} z^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y,z)\to(-2,1,4)}\left(4x^{2}y-3xyz^{2}+7y^{2}z^{3}\right).
Informações dadas:
\text{função }f(x,y,z)=4x^{2}y-3xyz^{2}+7y^{2}z^{3},çã
e o ponto onde a variável se aproxima é (-2,1,4). Não há outras condições escondidas no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar um teorema útil (vou explicar devagar): se uma função f é contínua num ponto (a,b,c), então
\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)} f(x,y,z)=f(a,b,c).
O que significa “contínua” aqui, de forma simples: pequenas variações em (x,y,z) produzem pequenas variações em f(x,y,z). Para funções construídas por somas e produtos de funções simples isso vale automaticamente — e eu explico por quê no próximo passo.

Passo 3

Por que podemos afirmar que f é contínua em (-2,1,4)?
  • As projeções coordenadas x\mapsto x, y\mapsto y, z\mapsto z são funções contínuas.
  • Produtos e somas de funções contínuas são contínuos (essa é uma propriedade básica que se prova usando definições ou teoremas de limite).
  • Cada termo de f é um produto de potências das coordenadas vezes constantes: 4x^{2}y, -3xyz^{2}, 7y^{2}z^{3}. Cada potência (por exemplo x\mapsto x^{2}) é contínua porque pode ser vista como produto de coordenadas.
  • Logo, f é soma de termos contínuos, portanto f é contínua em todo \mathbb{R}^{3}, em particular em (-2,1,4).
Portanto, pelas propriedades acima podemos substituir diretamente o ponto no lugar das variáveis:
\lim_{(x,y,z)\to(-2,1,4)} f(x,y,z)=f(-2,1,4).

Passo 4

Agora vamos avaliar f(-2,1,4) passo a passo, calculando cada termo separadamente para não me perder na prova.
Termo 1: 4x^{2}y com x=-2 e y=1.
x^{2}=(-2)^{2}=4,
4x^{2}y=4\cdot 4\cdot 1=16.

Passo 5

Termo 2: -3xyz^{2} com x=-2, y=1, z=4.
z^{2}=4^{2}=16,
-3xyz^{2}=-3\cdot(-2)\cdot 1\cdot 16.
Calcule por partes: -3\cdot(-2)=6, depois 6\cdot 16=96.
Portanto o segundo termo vale 96.

Passo 6

Termo 3: 7y^{2}z^{3} com y=1, z=4.
y^{2}=1^{2}=1,\qquad z^{3}=4^{3}=64,
7y^{2}z^{3}=7\cdot 1\cdot 64=448.

Passo 7

Somando os três termos que calculamos:
16 + 96 + 448 = 112 + 448 = 560.

Passo 8

Como f é contínua em (-2,1,4), o limite pedido é igual a f(-2,1,4), cujo valor calculamos como 560.

Resposta

560

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