Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
e o ponto onde a variável se aproxima é
. Não há outras condições escondidas no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar um teorema útil (vou explicar devagar): se uma função
é contínua num ponto
, então
O que significa “contínua” aqui, de forma simples: pequenas variações em
produzem pequenas variações em
. Para funções construídas por somas e produtos de funções simples isso vale automaticamente — e eu explico por quê no próximo passo.
Passo 3
Por que podemos afirmar que
é contínua em
?
- As projeções coordenadas
, , são funções contínuas. - Produtos e somas de funções contínuas são contínuos (essa é uma propriedade básica que se prova usando definições ou teoremas de limite).
- Cada termo de
é um produto de potências das coordenadas vezes constantes: , , . Cada potência (por exemplo ) é contínua porque pode ser vista como produto de coordenadas. - Logo,
é soma de termos contínuos, portanto é contínua em todo , em particular em .
Portanto, pelas propriedades acima podemos substituir diretamente o ponto no lugar das variáveis:
Passo 4
Agora vamos avaliar
passo a passo, calculando cada termo separadamente para não me perder na prova.
Termo 1:
com
e
.
Passo 5
Termo 2:
com
,
,
.
Calcule por partes:
, depois
.
Portanto o segundo termo vale .
Portanto o segundo termo vale
Passo 6
Termo 3:
com
,
.
Passo 7
Somando os três termos que calculamos:
Passo 8
Como
é contínua em
, o limite pedido é igual a
, cujo valor calculamos como
.