Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A função interna que aparece dentro da parte inteira é
. - O ponto de interesse é
. - Preciso calcular o limite da composição
quando se aproxima de . - Lembrete útil (vou usar isso depois): a função piso
é a maior parte inteira menor ou igual a ; ela tem descontinuidades apenas nos valores inteiros de .
Passo 2
Calcular o valor de
no ponto dado, porque isso normalmente indica qual é o candidato à resposta:
Passo 3
Explicar continuidade de
(para garantir que o limite de
é simplesmente seu valor no ponto):
-
é combinação de funções polinomiais (multiplicação, soma e potência), e polinômios são funções contínuas em todo . - Portanto,
é contínua em , o que implica
Passo 4
Entender a continuidade da função piso e como isso afeta o limite:
- A função
é constante em cada intervalo aberto entre inteiros, por exemplo em vale sempre . - A única problemática são os pontos em que
é inteiro, porque aí a tem salto. Se o limite do argumento for um número não inteiro, então, para valores de suficientemente próximos do ponto, ficará dentro de um intervalo aberto entre inteiros ao qual pertence o valor limite, e aí a parte inteira será constante nessa vizinhança.
Passo 5
Aplicar a ideia ao nosso caso específico:
- Como
e não é inteiro, ele pertence ao intervalo aberto . - Escolha
. Pela continuidade de , existe tal que se então
- Isso garante que, para
suficientemente próximos de ,
- Como em todo ponto desse intervalo
a função piso vale , para esses pontos temos .
Passo 6
Concluir o limite da composição:
- Para
suficientemente próximos de o valor de é constantemente , portanto
- Intuição rápida: porque
e valores próximos a têm piso .