Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
\lim _{(x, y) \rightarrow(-2,3)}\left\lfloor 5 x+\frac{1}{2} y^{2}\right\rfloor

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(-2,3)} \left\lfloor 5x + \tfrac{1}{2}y^{2} \right\rfloor.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função interna que aparece dentro da parte inteira é g(x,y)=5x + \tfrac{1}{2}y^{2}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(-2,3).
  • Preciso calcular o limite da composição (x,y)\mapsto \lfloor g(x,y)\rfloor quando (x,y) se aproxima de (-2,3).
  • Lembrete útil (vou usar isso depois): a função piso \lfloor t\rfloor é a maior parte inteira menor ou igual a t; ela tem descontinuidades apenas nos valores inteiros de t.

Passo 2

Calcular o valor de g no ponto dado, porque isso normalmente indica qual é o candidato à resposta:
g(-2,3)=5\cdot(-2)+\tfrac{1}{2}\cdot 3^{2}= -10 + \tfrac{1}{2}\cdot 9 = -10 + 4{,}5 = -5{,}5.

Passo 3

Explicar continuidade de g (para garantir que o limite de g é simplesmente seu valor no ponto):
  • g(x,y)=5x+\tfrac{1}{2}y^{2} é combinação de funções polinomiais (multiplicação, soma e potência), e polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
  • Portanto, g é contínua em (-2,3), o que implica
\lim_{(x,y)\to(-2,3)} g(x,y)=g(-2,3)=-5{,}5.

Passo 4

Entender a continuidade da função piso e como isso afeta o limite:
  • A função \lfloor t\rfloor é constante em cada intervalo aberto entre inteiros, por exemplo em (-6,-5) vale sempre -6.
  • A única problemática são os pontos em que t é inteiro, porque aí a \lfloor t\rfloor tem salto. Se o limite do argumento g(x,y) for um número não inteiro, então, para valores de (x,y) suficientemente próximos do ponto, g(x,y) ficará dentro de um intervalo aberto entre inteiros ao qual pertence o valor limite, e aí a parte inteira será constante nessa vizinhança.

Passo 5

Aplicar a ideia ao nosso caso específico:
  • Como g(-2,3)=-5{,}5 e -5{,}5 não é inteiro, ele pertence ao intervalo aberto (-6,-5).
  • Escolha \varepsilon=0{,}5. Pela continuidade de g, existe \delta>0 tal que se \sqrt{(x+2)^{2}+(y-3)^{2}}<\delta então
|g(x,y)-g(-2,3)|<\varepsilon=0{,}5.
  • Isso garante que, para (x,y) suficientemente próximos de (-2,3),
g(x,y)\in\bigl(-5{,}5-0{,}5,\; -5{,}5+0{,}5\bigr)=(-6,-5).
  • Como em todo ponto desse intervalo (-6,-5) a função piso vale -6, para esses pontos temos \lfloor g(x,y)\rfloor=-6.

Passo 6

Concluir o limite da composição:
  • Para (x,y) suficientemente próximos de (-2,3) o valor de \lfloor g(x,y)\rfloor é constantemente -6, portanto
\lim_{(x,y)\to(-2,3)} \left\lfloor 5x + \tfrac{1}{2}y^{2} \right\rfloor = -6.
  • Intuição rápida: porque g(-2,3)=-5{,}5 e valores próximos a -5{,}5 têm piso -6.

Resposta

-6

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