Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,2)} \sqrt{\frac{1}{3 x-4 y}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(4,2)} \sqrt{\frac{1}{3x-4y}}.
Informações dadas pelo enunciado:
\text{função }f(x,y)=\sqrt{\frac{1}{3x-4y}}\quad\text{e ponto de interesse }(x,y)=(4,2).çã
Não há outras restrições escritas no enunciado.

Passo 2

Primeira observação importante (domínio): a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser bem definida e não-negativa. Ou seja, para \sqrt{\frac{1}{3x-4y}} faz sentido precisamos ter 3x-4y\neq 0 e, além disso, \frac{1}{3x-4y}\ge 0. Como \frac{1}{3x-4y}\ge 0 implica 3x-4y>0 (porque o caso 3x-4y<0 daria número negativo dentro da raiz), devemos checar o sinal de 3x-4y perto do ponto (4,2). Antes de calcular o limite, vamos avaliar o valor de 3x-4y exatamente em (4,2).

Passo 3

Calcule o valor de 3x-4y em (4,2).
3\cdot 4 - 4\cdot 2 = 12 - 8 = 4.
Portanto, em (4,2) temos 3x-4y=4, que é estritamente positivo. Isso já é um bom sinal: no ponto de interesse a expressão dentro da raiz é \frac{1}{4}, um número positivo.

Passo 4

Explicação teórica (uso de teoremas vistos em aula): funções polinomiais e lineares são contínuas. As operações de recíproco g(t)=1/t é contínua sempre que t\neq 0. A raiz quadrada s(u)=\sqrt{u} é contínua em u>0. A composição de funções contínuas é contínua. Portanto, o mapeamento
(x,y)\mapsto 3x-4y \mapsto \frac{1}{3x-4y}\mapsto \sqrt{\frac{1}{3x-4y}}
é uma composição de funções contínuas em qualquer ponto onde 3x-4y>0. Como no ponto (4,2) temos 3x-4y=4>0, a função f(x,y)=\sqrt{\frac{1}{3x-4y}} é contínua em (4,2). Pela propriedade fundamental das funções contínuas, o limite no ponto é igual ao valor da função no ponto.

Passo 5

Justificação por vizinhança (garantindo que a função está definida numa bola ao redor do ponto): queremos mostrar que existe um raio \delta>0 tal que, se \sqrt{(x-4)^2+(y-2)^2}<\delta, então 3x-4y>0. Usamos uma estimativa simples com desigualdade triangular:
|3x-4y-4|=|3(x-4)-4(y-2)|\le 3|x-4|+4|y-2|.
Se exigirmos |x-4|<\delta e |y-2|<\delta, então
|3x-4y-4|<3\delta+4\delta=7\delta.
Escolhendo, por exemplo, \delta=\tfrac{4}{7} temos 7\delta=4, então |3x-4y-4|<4, o que implica 3x-4y>0. Assim existe uma vizinhança de (4,2) onde a função está bem definida e contínua — confirmando que podemos aplicar a propriedade de continuidade para calcular o limite por substituição direta.

Passo 6

Cálculo final do limite por continuidade (substituição direta):
\lim_{(x,y)\to(4,2)} \sqrt{\frac{1}{3x-4y}} = \sqrt{\frac{1}{3\cdot 4 - 4\cdot 2}} = \sqrt{\frac{1}{4}}.
Agora simplificamos a raiz:
\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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