Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas pelo enunciado:
Não há outras restrições escritas no enunciado.
Passo 2
Primeira observação importante (domínio): a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser bem definida e não-negativa. Ou seja, para
faz sentido precisamos ter
e, além disso,
. Como
implica
(porque o caso
daria número negativo dentro da raiz), devemos checar o sinal de
perto do ponto
. Antes de calcular o limite, vamos avaliar o valor de
exatamente em
.
Passo 3
Calcule o valor de
em
.
Portanto, em
temos
, que é estritamente positivo. Isso já é um bom sinal: no ponto de interesse a expressão dentro da raiz é
, um número positivo.
Passo 4
Explicação teórica (uso de teoremas vistos em aula): funções polinomiais e lineares são contínuas. As operações de recíproco
é contínua sempre que
. A raiz quadrada
é contínua em
. A composição de funções contínuas é contínua. Portanto, o mapeamento
é uma composição de funções contínuas em qualquer ponto onde
. Como no ponto
temos
, a função
é contínua em
. Pela propriedade fundamental das funções contínuas, o limite no ponto é igual ao valor da função no ponto.
Passo 5
Justificação por vizinhança (garantindo que a função está definida numa bola ao redor do ponto): queremos mostrar que existe um raio
tal que, se
, então
. Usamos uma estimativa simples com desigualdade triangular:
Se exigirmos
e
, então
Escolhendo, por exemplo,
temos
, então
, o que implica
. Assim existe uma vizinhança de
onde a função está bem definida e contínua — confirmando que podemos aplicar a propriedade de continuidade para calcular o limite por substituição direta.
Passo 6
Cálculo final do limite por continuidade (substituição direta):
Agora simplificamos a raiz: