Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(\pi / 3,1, \pi)} \frac{\operatorname{sec} (x y)+\operatorname{sec} (y z)}{y-\operatorname{sec} z}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y,z)\rightarrow(\pi/3,\,1,\,\pi)} \frac{\operatorname{sec}(xy)+\operatorname{sec}(yz)}{y-\operatorname{sec} z}.
Informações dadas: o ponto de aproximação é (\pi/3,\,1,\,\pi). A expressão envolve as funções \operatorname{sec}(\cdot), produtos xy e yz, e uma combinação no numerador e denominador. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando (x,y,z) tende ao ponto indicado.

Passo 2

Vamos lembrar teoremas úteis (em linguagem simples):
  • Se f e g têm limite quando a variável tende a um ponto, então \lim(f+g)=\lim f+\lim g e \lim(f\cdot g)=\lim f\cdot\lim g. Em particular, soma e produto preservam limites.
  • Se \lim g\neq 0, então \lim\frac{f}{g}=\frac{\lim f}{\lim g}.
  • Funções contínuas permitem trocar limite com a função: se h é contínua em a e t\to a, então \lim_{t\to a} h(t)=h(a).
  • A função \operatorname{sec}(u) é definida por \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}. Como \cos(u) é contínua, \operatorname{sec}(u) é contínua em pontos onde \cos(u)\neq 0.
Vou usar esses fatos para avaliar o limite: calcular limites das partes (produtos e funções trigonométricas) e aplicar as regras de soma/razão.

Passo 3

Primeiro identifiquemos os limites das parcelas internas xy e yz quando (x,y,z)\rightarrow(\pi/3,\,1,\,\pi).
Produto de funções contínuas é contínuo, então
\lim_{(x,y,z)\to(\pi/3,1,\pi)} xy = \left(\pi/3\right)\cdot 1 = \pi/3
e
\lim_{(x,y,z)\to(\pi/3,1,\pi)} yz = 1\cdot \pi = \pi.
Aqui usei que as projeções x\mapsto x, y\mapsto y, z\mapsto z são contínuas e que o produto de contínuas é contínuo.

Passo 4

Agora uso continuidade do cosseno para avaliar \cos(xy) e \cos(yz) nos pontos limites encontrados:
\lim_{(x,y,z)\to(\pi/3,1,\pi)} \cos(xy) = \cos\!\left(\pi/3\right)
e
\lim_{(x,y,z)\to(\pi/3,1,\pi)} \cos(yz) = \cos(\pi).
Calculemos os valores numéricos:
\cos\!\left(\pi/3\right)=\tfrac{1}{2},\qquad \cos(\pi)=-1.

Passo 5

Como \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}\neq 0 e \cos(\pi)=-1\neq 0, as funções \operatorname{sec}(u)=1/\cos(u) são bem definidas e contínuas nesses pontos. Portanto podemos tirar o limite de \operatorname{sec}(xy) e \operatorname{sec}(yz) aplicando a continuidade:
\lim_{(x,y,z)\to(\pi/3,1,\pi)} \operatorname{sec}(xy) = \operatorname{sec}\!\left(\pi/3\right)=\frac{1}{\cos(\pi/3)}=\frac{1}{1/2}=2,
\lim_{(x,y,z)\to(\pi/3,1,\pi)} \operatorname{sec}(yz) = \operatorname{sec}(\pi)=\frac{1}{\cos(\pi)}=\frac{1}{-1}=-1.

Passo 6

Com isso, o limite do numerador é a soma dos limites:
\lim_{(x,y,z)\to(\pi/3,1,\pi)}\big(\operatorname{sec}(xy)+\operatorname{sec}(yz)\big) = 2 + (-1) = 1.

Passo 7

Agora avaliem o limite do denominador y-\operatorname{sec} z. Primeiro \lim y = 1. Para \operatorname{sec} z, como \cos(\pi)=-1\neq 0, \operatorname{sec} é contínua em z=\pi, logo
\lim_{z\to\pi}\operatorname{sec} z = \operatorname{sec}(\pi) = -1.
Portanto o limite do denominador é
\lim_{(x,y,z)\to(\pi/3,1,\pi)} \big(y-\operatorname{sec} z\big) = 1 - (-1) = 2.
Observação importante: esse limite é diferente de zero, portanto podemos aplicar a regra do quociente.

Passo 8

Aplicando a regra do quociente (já que o limite do denominador é 2\neq 0), o limite pedido é
\frac{\text{limite do numerador}}{\text{limite do denominador}}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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