Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: o ponto de aproximação é
. A expressão envolve as funções
, produtos
e
, e uma combinação no numerador e denominador. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando
tende ao ponto indicado.
Passo 2
Vamos lembrar teoremas úteis (em linguagem simples):
- Se
e têm limite quando a variável tende a um ponto, então e . Em particular, soma e produto preservam limites. - Se
, então . - Funções contínuas permitem trocar limite com a função: se
é contínua em e , então . - A função
é definida por . Como é contínua, é contínua em pontos onde .
Vou usar esses fatos para avaliar o limite: calcular limites das partes (produtos e funções trigonométricas) e aplicar as regras de soma/razão.
Passo 3
Primeiro identifiquemos os limites das parcelas internas
e
quando
.
Produto de funções contínuas é contínuo, então
e
Aqui usei que as projeções
,
,
são contínuas e que o produto de contínuas é contínuo.
Passo 4
Agora uso continuidade do cosseno para avaliar
e
nos pontos limites encontrados:
e
Calculemos os valores numéricos:
Passo 5
Como
e
, as funções
são bem definidas e contínuas nesses pontos. Portanto podemos tirar o limite de
e
aplicando a continuidade:
Passo 6
Com isso, o limite do numerador é a soma dos limites:
Passo 7
Agora avaliem o limite do denominador
. Primeiro
. Para
, como
,
é contínua em
, logo
Portanto o limite do denominador é
Observação importante: esse limite é diferente de zero, portanto podemos aplicar a regra do quociente.
Passo 8
Aplicando a regra do quociente (já que o limite do denominador é
), o limite pedido é