Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,2,0)} \frac{x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}}{x^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,2,0)} \frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}}{x^{2}+z^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função considerada é f(x,y,z)=\dfrac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}}{x^{2}+z^{2}}.
  • O ponto de interesse é (0,2,0).
  • Note que o denominador x^{2}+z^{2} é zero quando x=0 e z=0 simultaneamente; nessas pontos a expressão não está definida. Em particular, a reta \{(0,y,0):y\in\mathbb{R}\} está fora do domínio da função.
  • O enunciado pede para usar teoremas vistos em aula (limites e continuidade) — vamos usá-los ao longo da solução.

Passo 2

Fazer uma simplificação algébrica para ver a estrutura da função (isso é permitido para todos os pontos onde o denominador é diferente de zero). Fatore y^{2} no numerador:
x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}=y^{2}(x^{2}+z^{2}).
Portanto, para todo ponto com x^{2}+z^{2}\neq 0 (ou seja, onde a função está definida),
\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}}{x^{2}+z^{2}}=\frac{y^{2}(x^{2}+z^{2})}{x^{2}+z^{2}}=y^{2}.

Passo 3

Justificação cuidadosa da simplificação: a divisão por x^{2}+z^{2} só é legal quando x^{2}+z^{2}\neq 0. Mas isso não é um problema para o cálculo do limite porque:
  • O limite \lim_{(x,y,z)\to(0,2,0)} f(x,y,z) considera apenas pontos diferentes do ponto limite onde f esteja definida.
  • Qualquer sequência de pontos (x_n,y_n,z_n) no domínio que tende a (0,2,0) terá, para n suficientemente grande, x_n^2+z_n^2\neq0 (caso contrário os pontos seriam exatamente da reta onde a função não está definida, e não poderiam ser termos da sequência no domínio). Assim, perto de (0,2,0) (exceto exatamente na reta proibida) vale a igualdade f(x,y,z)=y^{2}.
  • Conclusão prática: para fins do limite, o valor de f coincide com y^{2} em toda vizinhança puncturada de (0,2,0) dentro do domínio.

Passo 4

Agora usamos propriedades de limites e continuidade. Como para os pontos do domínio próximos a (0,2,0) temos f(x,y,z)=y^{2}, segue que
\lim_{(x,y,z)\to(0,2,0)} f(x,y,z) = \lim_{(x,y,z)\to(0,2,0)} y^{2}.
A função g(y)=y^{2} é um polinômio em y, e polinômios são contínuos em todo ponto. Pelo teorema da continuidade, o limite de y^{2} quando y\to 2 é 2^{2}. Mais formalmente, usando a regra de limites para composições:
\lim_{(x,y,z)\to(0,2,0)} y^{2} = \left(\lim_{(x,y,z)\to(0,2,0)} y\right)^{2} = 2^{2}=4.

Passo 5

Resumo lógico: para pontos próximos (e pertencentes ao domínio) temos f(x,y,z)=y^{2}. Como y\to 2 quando (x,y,z)\to(0,2,0) e y^{2} é contínua, o limite pedido é 4.

Resposta

4

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