Calcule o limite indicado, usando os teoremas vistos em aula
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Note que o denominador
é zero quando e simultaneamente; nessas pontos a expressão não está definida. Em particular, a reta está fora do domínio da função. - O enunciado pede para usar teoremas vistos em aula (limites e continuidade) — vamos usá-los ao longo da solução.
Passo 2
Fazer uma simplificação algébrica para ver a estrutura da função (isso é permitido para todos os pontos onde o denominador é diferente de zero). Fatore
no numerador:
Portanto, para todo ponto com
(ou seja, onde a função está definida),
Passo 3
Justificação cuidadosa da simplificação: a divisão por
só é legal quando
. Mas isso não é um problema para o cálculo do limite porque:
- O limite
considera apenas pontos diferentes do ponto limite onde esteja definida. - Qualquer sequência de pontos
no domínio que tende a terá, para suficientemente grande, (caso contrário os pontos seriam exatamente da reta onde a função não está definida, e não poderiam ser termos da sequência no domínio). Assim, perto de (exceto exatamente na reta proibida) vale a igualdade . - Conclusão prática: para fins do limite, o valor de
coincide com em toda vizinhança puncturada de dentro do domínio.
Passo 4
Agora usamos propriedades de limites e continuidade. Como para os pontos do domínio próximos a
temos
, segue que
A função
é um polinômio em
, e polinômios são contínuos em todo ponto. Pelo teorema da continuidade, o limite de
quando
é
. Mais formalmente, usando a regra de limites para composições:
Passo 5
Resumo lógico: para pontos próximos (e pertencentes ao domínio) temos
. Como
quando
e
é contínua, o limite pedido é
.