Calcule os limites
Determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Determine o maior conjunto onde a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: “Determine o maior conjunto onde a função é contínua.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão algébrica de
é . - A função está escrita como um quociente de duas expressões polinomiais em
e .
A partir daqui vamos identificar onde essa expressão está bem definida e onde ela pode ser contínua.
Passo 2
Identificar onde o denominador é zero (porque aí a função não está definida). Observe a fatoração do denominador:
Portanto o denominador é zero exatamente quando
ou seja quando
ou quando
.
Passo 3
Concluir o domínio (conjunto onde a função está definida). A função
só está definida em pontos
tais que o denominador não é zero. Logo o domínio é
equivalente a
Passo 4
Usar o fato sobre continuidade de polinômios e quocientes: polinômios em
são contínuos em todo
. O quociente de duas funções contínuas é contínuo em pontos onde o denominador é diferente de zero. Como
e
são polinômios e contínuos, o quociente
é contínuo em todo ponto do domínio
definido acima. Portanto, pelo argumento geral,
é contínua em todos os pontos
tais que
.
Passo 5
Para reforçar a intuição, observe que quando
podemos simplificar a expressão:
Isso mostra que, fora das duas retas
e
, a função coincide com
, que é claramente contínua onde
. Assim confirmamos concretamente a continuidade em cada ponto do domínio.
Observação adicional (didática): nos pontos da reta (isto é
), se
o limite de
quando
existe e vale
, ou seja a singularidade aí é removível; porém a função original não está definida nesses pontos, portanto não é contínua neles. No ponto
o limite não existe. Essas observações não mudam o domínio de continuidade da função dada.
Observação adicional (didática): nos pontos da reta