Calcule os limites
Determine o maior conjunto onde a função f(x, y)=\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}} é contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}} e pede: “Determine o maior conjunto onde a função é contínua.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão algébrica de f é \displaystyle \frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}.
  • A função está escrita como um quociente de duas expressões polinomiais em x e y.
    A partir daqui vamos identificar onde essa expressão está bem definida e onde ela pode ser contínua.

Passo 2

Identificar onde o denominador é zero (porque aí a função não está definida). Observe a fatoração do denominador:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Portanto o denominador é zero exatamente quando
(x-y)(x+y)=0,
ou seja quando \,x=y ou quando \,x=-y.

Passo 3

Concluir o domínio (conjunto onde a função está definida). A função \,f só está definida em pontos (x,y) tais que o denominador não é zero. Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\},
equivalente a
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq y\\ \text{e}\\ x\neq -y\}.

Passo 4

Usar o fato sobre continuidade de polinômios e quocientes: polinômios em x,y são contínuos em todo \mathbb{R}^{2}. O quociente de duas funções contínuas é contínuo em pontos onde o denominador é diferente de zero. Como \,x+y e \,x^{2}-y^{2} são polinômios e contínuos, o quociente \,f é contínuo em todo ponto do domínio D definido acima. Portanto, pelo argumento geral, f é contínua em todos os pontos (x,y) tais que x^{2}-y^{2}\neq 0.

Passo 5

Para reforçar a intuição, observe que quando \,x+y\neq 0 podemos simplificar a expressão:
\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x-y}\quad\text{sempre que }x+y\neq 0.
Isso mostra que, fora das duas retas x=y e x=-y, a função coincide com \,1/(x-y), que é claramente contínua onde x\neq y. Assim confirmamos concretamente a continuidade em cada ponto do domínio.
Observação adicional (didática): nos pontos da reta x=-y (isto é (a,-a)), se a\neq 0 o limite de f quando (x,y)\to(a,-a) existe e vale 1/(2a), ou seja a singularidade aí é removível; porém a função original não está definida nesses pontos, portanto não é contínua neles. No ponto (0,0) o limite não existe. Essas observações não mudam o domínio de continuidade da função dada.

Resposta

\displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}

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