Calcule o livre percurso médio e a frequência de colisão das moléculas de Kriptônio (
) quando este gás se encontra sob pressão de
e em condições tais que a energia cinética média de suas moléculas seja de
. Considere que nestas condições o comportamento é de gás ideal.
Passo 1
O enunciado pede que sejam calculados o livre percurso médio e a frequência de colisão das moléculas de criptônio nas condições fornecidas.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Seção de choque (cross-section):
. - Massa molar:
. - Pressão:
. - Energia cinética média por molécula:
. - Considerar comportamento de gás ideal.
O que eu tenho que entregar:
- O livre percurso médio
(em metros). - A frequência de colisão por molécula
(em ).
Passo 2
Primeiro vamos extrair grandezas e converter para unidades SI úteis.
Constantes que usarei:
- Constante de Boltzmann:
. - Número de Avogadro:
. - Pressão em pascal:
, logo
Massa de uma molécula (massa molecular em kg):
Passo 3
A partir da energia cinética média por molécula podemos obter a temperatura. Para um gás monoatômico (translação 3D), a energia cinética média por molécula é
Desse modo:
Substituindo os valores:
Calculemos passo a passo:
Portanto a temperatura nas condições dadas é aproximadamente
(vou arredondar depois seguindo algarismos significativos).
Passo 4
Agora precisamos do número de partículas por volume (densidade numérica)
. Para gás ideal vale
Usando
e
:
Passo 5
Fórmula do livre percurso médio. Para esferas duras (modelo de Boltzmann) com seção de choque
vale
Explicando a fórmula de forma simples:
é a probabilidade por comprimento de encontrar uma partícula alvo; o fator
aparece por causa do movimento relativo entre partículas (é uma correção estatística para partículas idênticas em movimento aleatório).
Usando
calculado e
:
Calculemos:
Portanto o livre percurso médio é aproximadamente
.
Passo 6
Agora vamos obter a velocidade média das moléculas necessária para calcular a frequência de colisão. A velocidade média (mean speed) na distribuição de Maxwell-Boltzmann é
Aqui
é a constante de Boltzmann,
a temperatura e
a massa de uma molécula (já calculada).
Substituindo
e
:
Calculemos:
Ou seja,
(cerca de
).
Passo 7
Frequência de colisão por molécula. Intuitivamente é quantas colisões uma molécula sofre por segundo; pode ser obtida por
Também é consistente com a expressão direta
que é equivalente, pois
.
Usando
e
:
Passo 8
Interpretação rápida e encorajamento:
- Os números ficam enormes porque a seção de choque dada é relativamente grande e a pressão é alta: isso reduz muito o livre percurso médio e aumenta fortemente a frequência de colisões.
- Calculei tudo passo a passo usando relações do gás ideal e da estatística de Maxwell-Boltzmann. Dá para repetir esses passos na prova com lápis e papel se você seguir a sequência: obter
pela energia média, então pela equação de estado, pela fórmula com e, por fim, como .