Calcule o livre percurso médio e a frequência de colisão das moléculas de Kriptônio ( \sigma=4,00 \times 10^{-10} \mathrm{~m}^{2} ; M=83,798 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1} ) quando este gás se encontra sob pressão de 2,00 \mathrm{~atm} e em condições tais que a energia cinética média de suas moléculas seja de 8,28 \times 10^{-21} \mathrm{~J}. Considere que nestas condições o comportamento é de gás ideal.

Passo 1

O enunciado pede que sejam calculados o livre percurso médio e a frequência de colisão das moléculas de criptônio nas condições fornecidas.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Seção de choque (cross-section): \sigma = 4,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^2.
  • Massa molar: M = 83,798\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Pressão: p = 2,00\\ \mathrm{atm}.
  • Energia cinética média por molécula: \varepsilon_{\text{média}} = 8,28\times10^{-21}\\ \mathrm{J}é.
  • Considerar comportamento de gás ideal.
O que eu tenho que entregar:
  • O livre percurso médio \lambda (em metros).
  • A frequência de colisão por molécula \nu (em \mathrm{s^{-1}}).

Passo 2

Primeiro vamos extrair grandezas e converter para unidades SI úteis.
Constantes que usarei:
  • Constante de Boltzmann: k = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Número de Avogadro: N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Pressão em pascal: 1\\ \mathrm{atm}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, logo
p = 2,00\\ \mathrm{atm} = 2,00\times1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 2,0265\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Massa de uma molécula (massa molecular em kg):
M = 83,798\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} = 0,083798\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.
m = \frac{M}{N_A} = \frac{0,083798}{6,02214076\times10^{23}}\\ \mathrm{kg} \approx 1,3916\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

A partir da energia cinética média por molécula podemos obter a temperatura. Para um gás monoatômico (translação 3D), a energia cinética média por molécula é
\varepsilon_{\text{média}} = \frac{3}{2}\,kT.é
Desse modo:
T = \frac{2}{3}\,\frac{\varepsilon_{\text{média}}}{k}.é
Substituindo os valores:
T = \frac{2}{3}\,\frac{8,28\times10^{-21}}{1,380649\times10^{-23}}\\ \mathrm{K}.
Calculemos passo a passo:
\frac{8,28\times10^{-21}}{1,380649\times10^{-23}} \approx 599,6, \qquad T \approx \frac{2}{3}\times599,6 \approx 399,7\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura nas condições dadas é aproximadamente T \approx 399,7\\ \mathrm{K} (vou arredondar depois seguindo algarismos significativos).

Passo 4

Agora precisamos do número de partículas por volume (densidade numérica) n. Para gás ideal vale
p = n k T \quad\Rightarrow\quad n = \frac{p}{kT}.
Usando p = 2,0265\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e kT = k\cdot T \approx 1,380649\times10^{-23}\times399,7 \approx 5,52\times10^{-21}\\ \mathrm{J}:
n = \frac{2,0265\times10^{5}}{5,52\times10^{-21}}\\ \mathrm{m^{-3}} \approx 3,67\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 5

Fórmula do livre percurso médio. Para esferas duras (modelo de Boltzmann) com seção de choque \sigma vale
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}.
Explicando a fórmula de forma simples: n\sigma é a probabilidade por comprimento de encontrar uma partícula alvo; o fator \sqrt{2} aparece por causa do movimento relativo entre partículas (é uma correção estatística para partículas idênticas em movimento aleatório).
Usando n calculado e \sigma = 4,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2}:
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\times 3,67\times10^{25}\times 4,00\times10^{-10}}\\ \mathrm{m}.
Calculemos:
\sqrt{2}\times 3,67\times10^{25}\times 4,00\times10^{-10} \approx 2,078\times10^{16},
\lambda \approx \frac{1}{2,078\times10^{16}}\\ \mathrm{m} \approx 4,81\times10^{-17}\\ \mathrm{m}.
Portanto o livre percurso médio é aproximadamente \lambda \approx 4,81\times10^{-17}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora vamos obter a velocidade média das moléculas necessária para calcular a frequência de colisão. A velocidade média (mean speed) na distribuição de Maxwell-Boltzmann é
\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}.
Aqui k é a constante de Boltzmann, T a temperatura e m a massa de uma molécula (já calculada).
Substituindo kT \approx 5,52\times10^{-21}\\ \mathrm{J} e m\approx1,3916\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}:
\bar{v} = \sqrt{\frac{8\times5,52\times10^{-21}}{\pi\times1,3916\times10^{-25}}}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Calculemos:
\frac{8\times5,52\times10^{-21}}{\pi\times1,3916\times10^{-25}} \approx 1,010\times10^{5},
\bar{v} \approx \sqrt{1,010\times10^{5}}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 3,18\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Ou seja, \bar{v} \approx 3,18\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} (cerca de 318\\ \mathrm{m/s}).

Passo 7

Frequência de colisão por molécula. Intuitivamente é quantas colisões uma molécula sofre por segundo; pode ser obtida por
\nu = \frac{\bar{v}}{\lambda}.
Também é consistente com a expressão direta
\nu = \sqrt{2}\,n\,\sigma\,\bar{v},
que é equivalente, pois \lambda = 1/(\sqrt{2} n \sigma).
Usando \bar{v}\approx3,18\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} e \lambda\approx4,81\times10^{-17}\\ \mathrm{m}:
\nu \approx \frac{3,18\times10^{2}}{4,81\times10^{-17}}\\ \mathrm{s^{-1}} \approx 6,61\times10^{18}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 8

Interpretação rápida e encorajamento:
  • Os números ficam enormes porque a seção de choque dada é relativamente grande e a pressão é alta: isso reduz muito o livre percurso médio e aumenta fortemente a frequência de colisões.
  • Calculei tudo passo a passo usando relações do gás ideal e da estatística de Maxwell-Boltzmann. Dá para repetir esses passos na prova com lápis e papel se você seguir a sequência: obter T pela energia média, então n pela equação de estado, \lambda pela fórmula com \sigma e, por fim, \nu como \bar{v}/\lambda.

Resposta

\lambda \approx 4,81\times10^{-17}\\ \mathrm{m}\n
\nu \approx 6,61\times10^{18}\\ \mathrm{s^{-1}}

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