Calcule
em cada caso.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule
em cada caso” para a função
Informações relevantes dadas:
- A função é
de três variáveis. - A expressão envolve uma base dependente de
e : . - O expoente é dependente de
: .
O que precisamos devolver: o vetor gradiente, isto é, as derivadas parciais , e .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calcular:
- Por definição, o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
- Cada derivada parcial trata as outras variáveis como constantes.
- Aqui a função é uma composição do tipo “base^expoente” com base dependente de
e expoente dependente de . Para esse tipo de função é muito prático usar a reescrita via exponencial/logaritmo e a regra da cadeia. Vou explicar a ferramenta que usaremos.
Passo 3
Truque útil (log-diferenciação via exponencial):
- Defina
— note que sempre, então está bem definida. - Reescrevemos
como exponencial:
Por que isso ajuda? Porque a derivada de
é
. Ou seja, as derivadas de
serão
vezes a derivada do expoente
. Isso simplifica muito a aplicação da regra da cadeia.
Passo 4
Cálculo de
:
- Começamos lembrando que
com . - Pela regra da cadeia,
- Agora calculamos
. Como e é tratado como constante ao derivar em relação a ,
- Derivada de
: . - E
. - Portanto,
- Voltando para
:
- Substituindo
e , obtemos, simplificando uma potência:
Passo 5
Cálculo de
:
- O procedimento é análogo ao do passo anterior, só que com
. -
. - Seguindo os mesmos passos,
e então
Passo 6
Cálculo de
:
- Agora derivamos em relação a
. Lembre-se que depende só de , então ao derivar em relação a temos
pois a derivada de
é
e
é tratado como constante.
- Pela regra da cadeia para
,
- Substituindo
e ,
Passo 7
Resumo do que fizemos (sem repetir a resposta final como vetor):
- Usamos a reescrita
com . - Aplicamos a regra da cadeia: cada derivada parcial é
vezes a derivada parcial do expoente em relação à variável desejada. - Calculamos
, e explicitamente (veja as expressões nos passos anteriores). - A reação comum na prova: se você esquecer o passo "multiplica por
" ao usar a exponencial, volta pro passo de escrever — isso evita erros.