Calcule \nabla f em cada caso.
f=\left(x^{2}+y^{2}+1\right)^{z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule \nabla f em cada caso” para a função
f=\left(x^{2}+y^{2}+1\right)^{z^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y,z) de três variáveis.
  • A expressão envolve uma base dependente de x e y: \left(x^{2}+y^{2}+1\right).
  • O expoente é dependente de z: z^{2}.
    O que precisamos devolver: o vetor gradiente \nabla f, isto é, as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calcular:
  • Por definição, o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Cada derivada parcial trata as outras variáveis como constantes.
  • Aqui a função é uma composição do tipo “base^expoente” com base dependente de x,y e expoente dependente de z. Para esse tipo de função é muito prático usar a reescrita via exponencial/logaritmo e a regra da cadeia. Vou explicar a ferramenta que usaremos.

Passo 3

Truque útil (log-diferenciação via exponencial):
  • Defina g(x,y)=x^{2}+y^{2}+1 — note que g>0 sempre, então \ln g está bem definida.
  • Reescrevemos f como exponencial:
f = g^{\,z^{2}} = \exp\big(z^{2}\ln g\big).
Por que isso ajuda? Porque a derivada de \exp(h) é \exp(h)\cdot h'. Ou seja, as derivadas de f serão f vezes a derivada do expoente h=z^{2}\ln g. Isso simplifica muito a aplicação da regra da cadeia.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
  • Começamos lembrando que f=\exp(h) com h(z,x,y)=z^{2}\ln g(x,y).
  • Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} = f\cdot \frac{\partial h}{\partial x}.
  • Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}. Como h=z^{2}\ln g e z é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial h}{\partial x} = z^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(\ln g\big).
  • Derivada de \ln g: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(\ln g) = \frac{1}{g}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}.
  • E \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}+1) = 2x.
  • Portanto,
\frac{\partial h}{\partial x} = z^{2}\cdot \frac{1}{g}\cdot 2x = \frac{2x z^{2}}{g}.
  • Voltando para \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x} = f\cdot \frac{2x z^{2}}{g}.
  • Substituindo f=g^{z^{2}} e g=x^{2}+y^{2}+1, obtemos, simplificando uma potência:
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x z^{2}\,(x^{2}+y^{2}+1)^{\,z^{2}-1}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
  • O procedimento é análogo ao do passo anterior, só que com y.
  • \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}=2y.
  • Seguindo os mesmos passos,
\frac{\partial h}{\partial y} = z^{2}\cdot \frac{1}{g}\cdot 2y = \frac{2y z^{2}}{g},
e então
\frac{\partial f}{\partial y} = f\cdot \frac{2y z^{2}}{g} = 2y z^{2}\,(x^{2}+y^{2}+1)^{\,z^{2}-1}.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}:
  • Agora derivamos em relação a z. Lembre-se que g depende só de x,y, então ao derivar h=z^{2}\ln g em relação a z temos
\frac{\partial h}{\partial z} = 2z\ln g,
pois a derivada de z^{2} é 2z e \ln g é tratado como constante.
  • Pela regra da cadeia para f=\exp(h),
\frac{\partial f}{\partial z} = f\cdot \frac{\partial h}{\partial z} = f\cdot 2z\ln g.
  • Substituindo f e g,
\frac{\partial f}{\partial z} = 2z\ln\big(x^{2}+y^{2}+1\big)\,(x^{2}+y^{2}+1)^{\,z^{2}}.

Passo 7

Resumo do que fizemos (sem repetir a resposta final como vetor):
  • Usamos a reescrita f=\exp(z^{2}\ln g) com g=x^{2}+y^{2}+1.
  • Aplicamos a regra da cadeia: cada derivada parcial é f vezes a derivada parcial do expoente z^{2}\ln g em relação à variável desejada.
  • Calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} explicitamente (veja as expressões nos passos anteriores).
  • A reação comum na prova: se você esquecer o passo "multiplica por f" ao usar a exponencial, volta pro passo de escrever f=\exp(\cdot) — isso evita erros.

Resposta

\nabla f = \left(2x z^{2}\,(x^{2}+y^{2}+1)^{\,z^{2}-1},\;2y z^{2}\,(x^{2}+y^{2}+1)^{\,z^{2}-1},\;2z\ln\big(x^{2}+y^{2}+1\big)\,(x^{2}+y^{2}+1)^{\,z^{2}}\right)

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