7-) Calcule o número de mãos de pôquer possíveis de cinco cartas, distribuídas de um baralho de 52 cartas. (A ordem das cartas em uma mão não importa.) Um roayal flush é o conjunto das cinco cartas mais altas (Às, Rei, Rainha, Valete e 10) de qualquer “naipe”. Qual é a probabilidade de receber um royal flush (na primeira rodada)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o número de mãos de pôquer possíveis de cinco cartas tiradas de um baralho de 52 cartas, quando a ordem das cartas não importa.
  • Calcular a probabilidade de receber um royal flush (às, rei, dama, valete e 10 do mesmo naipe) ao receber 5 cartas na primeira distribuição.
Informações relevantes dadas:
  • Baralho padrão com 52 cartas.
  • Uma mão é formada por 5 cartas; a ordem não importa (logo trata-se de contagem por combinações).
  • Um royal flush é a combinação específica \{\text{A},\text{K},\text{Q},\text{J},10\} de um mesmo naipe; há 4 naipes.

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar (combinatória, sem ordem):
Quando queremos escolher k objetos dentre n sem considerar ordem, usamos a combinação
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1. Aqui n é o número total de objetos disponíveis e k é o número que escolhemos. No nosso caso n=52 e k=5, pois tiramos 5 cartas de 52 sem ordem.
Portanto o número total de mãos possíveis é
\binom{52}{5}.

Passo 3

Vamos calcular \binom{52}{5} de forma a facilitar sem calculadora, escrevendo o produto reduzido e cancelando:
\binom{52}{5}=\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo cancelamentos passo a passo para evitar números enormes:
  • Dividir 52 por 4: 52/4=13. O denominador fica 5\cdot3\cdot2\cdot1=30.
  • Dividir 50 por 5: 50/5=10. O denominador fica 3\cdot2\cdot1=6.
  • Dividir 48 por 3: 48/3=16. O denominador fica 2\cdot1=2.
  • Dividir 10 (resultado anterior) por 2: 10/2=5. O denominador fica 1.
Após esses cancelamentos restam fatores inteiros:
\binom{52}{5}=13\cdot51\cdot5\cdot49\cdot16.
Agora multiplicamos passo a passo (mostrando a conta para poder fazer na prova):
13\cdot51=663,
663\cdot5=3315,
3315\cdot49=3315\cdot(50-1)=165750-3315=162435,
162435\cdot16=162435\cdot(10+6)=1624350+974610=2598960.
Logo
\binom{52}{5}=2\,598\,960.

Passo 4

Contagem das mãos que são royal flush:
Um royal flush é uma coleção fixada de cinco cartas específicas por naipe. Para cada naipe (copas, paus, ouros, espadas) existe exatamente uma mão que é o royal flush desse naipe. Portanto o número de mãos royal flush possíveis é
4.

Passo 5

Probabilidade de receber um royal flush ao receber 5 cartas (uma mão aleatória equiprovável) é razão entre mãos favoráveis e mãos possíveis:
P(\text{royal flush})=\frac{4}{\binom{52}{5}}=\frac{4}{2\,598\,960}.
Simplificando divide-se numerador e denominador por 4:
P(\text{royal flush})=\frac{1}{649740}.
Aproximações úteis (para a prova, apresentar também em notação decimal e em porcentagem):
P(\text{royal flush})\approx 1{,}539\times10^{-6}\approx 0{,}0001539\%.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (rápidas):
  • Quando pedir “número de mãos”, escreva \binom{52}{5} e, se pedirem o valor, faça os cancelamentos como em Passo 3 para obter 2\,598\,960.
  • Para probabilidades, mantenha a fração exata (aqui \dfrac{1}{649740}) e só passe ao decimal se necessário; para valores muito pequenos é prático também dar a porcentagem com notação científica.

Resposta

\binom{52}{5}=2\,598\,960
P(\text{royal flush})=\dfrac{4}{\binom{52}{5}}=\dfrac{1}{649740}\approx 1{,}539\times10^{-6}\approx 0{,}0001539\%

Exercícios relacionados