7-) Calcule o número de mãos de pôquer possíveis de cinco cartas, distribuídas de um baralho de 52 cartas. (A ordem das cartas em uma mão não importa.) Um roayal flush é o conjunto das cinco cartas mais altas (Às, Rei, Rainha, Valete e 10) de qualquer “naipe”. Qual é a probabilidade de receber um royal flush (na primeira rodada)?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o número de mãos de pôquer possíveis de cinco cartas tiradas de um baralho de 52 cartas, quando a ordem das cartas não importa.
- Calcular a probabilidade de receber um royal flush (às, rei, dama, valete e 10 do mesmo naipe) ao receber 5 cartas na primeira distribuição.
Informações relevantes dadas:
- Baralho padrão com
cartas. - Uma mão é formada por
cartas; a ordem não importa (logo trata-se de contagem por combinações). - Um royal flush é a combinação específica
de um mesmo naipe; há naipes.
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar (combinatória, sem ordem):
Quando queremos escolher objetos dentre
sem considerar ordem, usamos a combinação
Quando queremos escolher
onde
(fatorial) é
. Aqui
é o número total de objetos disponíveis e
é o número que escolhemos. No nosso caso
e
, pois tiramos 5 cartas de 52 sem ordem.
Portanto o número total de mãos possíveis é
Passo 3
Vamos calcular
de forma a facilitar sem calculadora, escrevendo o produto reduzido e cancelando:
Fazendo cancelamentos passo a passo para evitar números enormes:
- Dividir
por : . O denominador fica . - Dividir
por : . O denominador fica . - Dividir
por : . O denominador fica . - Dividir
(resultado anterior) por : . O denominador fica .
Após esses cancelamentos restam fatores inteiros:
Agora multiplicamos passo a passo (mostrando a conta para poder fazer na prova):
Logo
Passo 4
Contagem das mãos que são royal flush:
Um royal flush é uma coleção fixada de cinco cartas específicas por naipe. Para cada naipe (copas, paus, ouros, espadas) existe exatamente uma mão que é o royal flush desse naipe. Portanto o número de mãos royal flush possíveis é
Um royal flush é uma coleção fixada de cinco cartas específicas por naipe. Para cada naipe (copas, paus, ouros, espadas) existe exatamente uma mão que é o royal flush desse naipe. Portanto o número de mãos royal flush possíveis é
Passo 5
Probabilidade de receber um royal flush ao receber 5 cartas (uma mão aleatória equiprovável) é razão entre mãos favoráveis e mãos possíveis:
Simplificando divide-se numerador e denominador por
:
Aproximações úteis (para a prova, apresentar também em notação decimal e em porcentagem):
Passo 6
Dicas práticas para a prova (rápidas):
- Quando pedir “número de mãos”, escreva
e, se pedirem o valor, faça os cancelamentos como em Passo 3 para obter . - Para probabilidades, mantenha a fração exata (aqui
) e só passe ao decimal se necessário; para valores muito pequenos é prático também dar a porcentagem com notação científica.