Calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede f'(x) para
f(x)=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente, que diz que, para
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=1+e^{x}, \quad v(x)=1-e^{x}.
Precisamos das derivadas u'(x) e v'(x). Pela regra da derivada do exponencial:
u'(x)=\frac{d}{dx}(1+e^{x})=e^{x}, \quad v'(x)=\frac{d}{dx}(1-e^{x})=-\,e^{x}.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{e^{x}\,(1-e^{x})-(1+e^{x})(-e^{x})}{(1-e^{x})^{2}}.

Passo 4

Simplificamos o numerador:
e^{x}(1-e^{x})+(1+e^{x})\,e^{x} =e^{x}-e^{2x}+e^{x}+e^{2x} =2\,e^{x}.
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f'(x)=\frac{2\,e^{x}}{(1-e^{x})^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2\,e^{x}}{(1-e^{x})^{2}}.

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