Calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\frac{e^{x}}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{e^{x}}{1+x^{2}}.
Aqui vamos usar o quociente de duas funções, isto é, se u(x)=e^{x} e v(x)=1+x^{2}, então
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}
e a regra do quociente diz
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Identificando cada componente temos
u(x)=e^{x},\quad u'(x)=e^{x},
v(x)=1+x^{2},\quad v'(x)=2x.
Substituindo na fórmula do quociente:
f'(x) = \frac{e^{x}\,(1+x^{2}) - e^{x}\,(2x)}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 3

No numerador podemos fatorar e^{x}:
f'(x) = \frac{e^{x}\bigl[(1+x^{2}) - 2x\bigr]}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{e^{x}\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 4

Repare que x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Portanto a forma mais enxuta é
f'(x) = \frac{e^{x}\,(x-1)^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}\,(x-1)^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.

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