Calcule o produto misto
\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}]=\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})\) : Interprete geometricamente o módulo do resultado. \(\mathbf{a}=(1,0,0), \mathbf{b}=(0,1,0), \mathbf{c}=(0,0,1)\)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o produto misto \,[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\,.
  • Interpretar geometricamente o módulo (valor absoluto) do resultado.
As informações dadas (vetores) são:
\mathbf{a}=(1,0,0),\qquad \mathbf{b}=(0,1,0),\qquad \mathbf{c}=(0,0,1).

Passo 2

Definição e estratégia: o produto misto \,[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]\, pode ser calculado fazendo primeiro o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c} e depois o produto escalar desse resultado com \mathbf{a}. Vou usar a fórmula componente a componente para o produto vetorial:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = (b_2 c_3 - b_3 c_2,\; b_3 c_1 - b_1 c_3,\; b_1 c_2 - b_2 c_1),
onde b_i e c_i são as componentes dos vetores \mathbf{b} e \mathbf{c}.

Passo 3

Calcular \mathbf{b}\times\mathbf{c} usando os componentes de \mathbf{b}=(0,1,0) e \mathbf{c}=(0,0,1):
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = (1\cdot1 - 0\cdot0,\; 0\cdot0 - 0\cdot1,\; 0\cdot0 - 1\cdot0) = (1,0,0).

Passo 4

Agora faço o produto escalar com \mathbf{a}=(1,0,0):
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = (1,0,0)\cdot(1,0,0) = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 1.
Observação rápida (método alternativo): o produto misto também pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. Aqui essa matriz é a identidade 3\times3, cujo determinante é 1, confirmando o resultado.

Passo 5

Interpretação geométrica do módulo: uma propriedade importante é
\bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr| = \text{volume do paralelepípedo gerado por \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\)}.í
Explicando por que: a área da base é |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| e a altura (projeção de \mathbf{a} na direção normal à base) é \bigl|\mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{b}\times\mathbf{c}}{|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|}\bigr|. Multiplicando área por altura obtemos |\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|.
No caso dado temos \mathbf{b}\times\mathbf{c}=(1,0,0) com norma |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|=1, e \mathbf{a} está precisamente na direção normal, então o volume é |1|=1. O sinal positivo do produto misto indica que o triplo (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) tem orientação direta (sistema de base dextrógiro / right-handed).

Resposta

[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = 1
|[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]| = 1, que é o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.

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