Definição e estratégia: o produto misto \,[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]\, pode ser calculado fazendo primeiro o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c} e depois o produto escalar desse resultado com \mathbf{a}. Vou usar a fórmula componente a componente para o produto vetorial:
Observação rápida (método alternativo): o produto misto também pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. Aqui essa matriz é a identidade 3\times3, cujo determinante é 1, confirmando o resultado.
Passo 5
Interpretação geométrica do módulo: uma propriedade importante é
\bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr| = \text{volume do paralelepípedo gerado por \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\)}.
Explicando por que: a área da base é |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| e a altura (projeção de \mathbf{a} na direção normal à base) é \bigl|\mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{b}\times\mathbf{c}}{|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|}\bigr|. Multiplicando área por altura obtemos |\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|.
No caso dado temos \mathbf{b}\times\mathbf{c}=(1,0,0) com norma |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|=1, e \mathbf{a} está precisamente na direção normal, então o volume é |1|=1. O sinal positivo do produto misto indica que o triplo (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) tem orientação direta (sistema de base dextrógiro / right-handed).
Resposta
[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = 1 |[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]| = 1, que é o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.