\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}]=\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})\) : Interprete geometricamente o módulo do resultado.
\(\mathbf{a}=(2,-1,3), \mathbf{b}=(0,4,1), \mathbf{c}=(-1,2,0)\)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Calcular o produto misto \,[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
Interpretar geometricamente o módulo (valor absoluto) do resultado.
As informações dadas são os três vetores: \mathbf{a}=(2,-1,3), \mathbf{b}=(0,4,1) e \mathbf{c}=(-1,2,0).
Passo 2
Vou lembrar a definição algébrica que vou usar (sem pular etapas): o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c} é um vetor perpendicular a \mathbf{b} e \mathbf{c} cuja coordenadas podem ser obtidas pelo determinante simbólico com as unidades \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}. Em forma de componentes, o produto misto pode ser calculado como o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}:
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a}, b_1,b_2,b_3 as de \mathbf{b} e c_1,c_2,c_3 as de \mathbf{c}. Esse determinante é exatamente \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Explico por que geometricamente depois; agora vamos calcular.]
Passo 3
Primeiro calculo \mathbf{b}\times\mathbf{c} usando a expansão por determinante nas componentes:
Interpretação geométrica do módulo (vou explicar passo a passo e de forma concreta, sem jargão desnecessário).
Geometricamente, [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) é o volume orientado do paralelepípedo gerado pelos vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. “Orientado” quer dizer que o número pode ser positivo ou negativo dependendo da ordem dos vetores (associado à orientação direita/esquerda). O sinal indica orientação; o módulo (valor absoluto) dá o volume usual, sempre positivo.
Uma maneira de ver isso em fórmulas: a área da base gerada por \mathbf{b} e \mathbf{c} é |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|. A altura relativa a essa base, projetada por \mathbf{a}, é |\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}| onde \mathbf{n} é o versor normal à base; como \mathbf{n}=(\mathbf{b}\times\mathbf{c})/|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|, a altura é
Portanto o módulo do produto misto é exatamente o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
No nosso caso já calculamos [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=9, então o volume do paralelepípedo é |9|=9 (unidades cúbicas, dependendo das unidades das componentes).
Se quiser ver um número intermediário para intuição, o módulo de \mathbf{b}\times\mathbf{c} é