Calcule o produto misto
\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}]=\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})\) : Interprete geometricamente o módulo do resultado. \(\mathbf{a}=(2,-1,3), \mathbf{b}=(0,4,1), \mathbf{c}=(-1,2,0)\)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o produto misto \,[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
  • Interpretar geometricamente o módulo (valor absoluto) do resultado.
As informações dadas são os três vetores:
\mathbf{a}=(2,-1,3), \mathbf{b}=(0,4,1) e \mathbf{c}=(-1,2,0).

Passo 2

Vou lembrar a definição algébrica que vou usar (sem pular etapas): o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c} é um vetor perpendicular a \mathbf{b} e \mathbf{c} cuja coordenadas podem ser obtidas pelo determinante simbólico com as unidades \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}. Em forma de componentes, o produto misto pode ser calculado como o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}:
[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = \det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3\\[4pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a}, b_1,b_2,b_3 as de \mathbf{b} e c_1,c_2,c_3 as de \mathbf{c}. Esse determinante é exatamente \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Explico por que geometricamente depois; agora vamos calcular.]

Passo 3

Primeiro calculo \mathbf{b}\times\mathbf{c} usando a expansão por determinante nas componentes:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 4 & 1\\[4pt] -1 & 2 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \mathbf{i}(4\cdot0-1\cdot2) - \mathbf{j}(0\cdot0-1\cdot(-1)) + \mathbf{k}(0\cdot2-4\cdot(-1)).
Agora calculo cada termo cuidadosamente:
\mathbf{i}\text{ componente }=4\cdot0-1\cdot2 = -2,
\mathbf{j}\text{ componente }=-(0\cdot0-1\cdot(-1)) = -(0+1) = -1,
\mathbf{k}\text{ componente }=0\cdot2-4\cdot(-1)=0+4=4.
Logo
\mathbf{b}\times\mathbf{c}=(-2,-1,4).]

Passo 4

Agora faço o produto escalar de \mathbf{a} com \mathbf{b}\times\mathbf{c}:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = (2,-1,3)\cdot(-2,-1,4).
O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes, portanto:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 2\cdot(-2) + (-1)\cdot(-1) + 3\cdot4.
Calculo termo a termo:
2\cdot(-2) = -4,\qquad (-1)\cdot(-1)=1,\qquad 3\cdot4=12.
Somando:
-4 + 1 + 12 = 9.
Portanto o produto misto é 9.

Passo 5

Interpretação geométrica do módulo (vou explicar passo a passo e de forma concreta, sem jargão desnecessário).
  • Geometricamente, [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) é o volume orientado do paralelepípedo gerado pelos vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. “Orientado” quer dizer que o número pode ser positivo ou negativo dependendo da ordem dos vetores (associado à orientação direita/esquerda). O sinal indica orientação; o módulo (valor absoluto) dá o volume usual, sempre positivo.
  • Uma maneira de ver isso em fórmulas: a área da base gerada por \mathbf{b} e \mathbf{c} é |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|. A altura relativa a essa base, projetada por \mathbf{a}, é |\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}| onde \mathbf{n} é o versor normal à base; como \mathbf{n}=(\mathbf{b}\times\mathbf{c})/|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|, a altura é
\text{altura}=\left|\mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{b}\times\mathbf{c}}{|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|}\right| =\frac{|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|}{|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|}.
Multiplicando área da base pela altura dá o volume:
\text{volume} = |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|\cdot\frac{|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|}{|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|} =|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|.
Portanto o módulo do produto misto é exatamente o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
  • No nosso caso já calculamos [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=9, então o volume do paralelepípedo é |9|=9 (unidades cúbicas, dependendo das unidades das componentes).
Se quiser ver um número intermediário para intuição, o módulo de \mathbf{b}\times\mathbf{c} é
|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{21},
e a altura relativa a essa base seria \dfrac{9}{\sqrt{21}}. Mas o resultado essencial e bonito é que o volume é 9.

Resposta

9
O módulo |[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]|=9 é o volume do paralelepípedo determinado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.

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